Intégration

[Sake]

Bonjour,

Voici un extrait d'oral (Cachan 2006) que j'ai trouvé, et je ne sais pas quelle approche siérait le mieux :

Soit f : [0,1] -> R une fonction strictement croissante. Supposons que f(1) est la longueur du graphe de f. Montrer que

Je ne sais pas s'il valait mieux poster le sujet ici ou dans la section "Supérieur". Si problème il y a, merci de demander à un modérateur de le déplacer.

Merci

[Ben314]

Salut,
Perso., je ferais une bête discrétisation :
Pour fixé et tout , si on pose on a :

Et, comme la fonction est croissante, on a aussi :

D'où, en combinant les deux, on obtient :

Et il n'y a plus qu'à faire un petit tableau de variation pour montrer que, pour tout on a et on en déduit que

Or, le terme de droite est une somme de Riemann qui, lorsque tend vers l'infini, tend vers

EDIT : Si on évalue la limite des on montre que la seule fonction vérifiant les hypothèses et pour laquelle il y a égalité est

[Sake]

Salut Ben,

Bien vu