Injection

[houssamhoussni]

bonjour,
soit une fonction de R dand R et non constante qui vérifie
f(x+y)=f(x)*f(y) ( * est multiplication)
étudier son injectivité
merci d avance !
Au passage qqn saurait il me montrer à koi la densité de Q dans R pourrait etre utile dans cette démonstration et dans l analyse réelle en générale!

[capitaine nuggets]

Salut !

Oui et alors ? Qu'as-tu fait ? Sais-tu ce que signifie "être injectif" ?

[houssamhoussni]

Salut !

Oui et alors ? Qu'as-tu fait ? Sais-tu ce que signifie "être injectif" ?

Oui mais j ai beau essayer avec mais sans résultat, tu en as une idée?

[Ben314]

Salut,
C'est archi classique (mais si on l'a jamais vu....)
Comme f(x)=f(x/2+x/2)=[f(x/2)]^2 on a f(x)>=0 et, si f(x)=0, alors quelque soit t on aurait f(t)=f(t-x+x)=f(t-x)f(x)=0 et f serait constante contrairement à l'hypothèse.
Donc f(x)>0 pour tout x et on peut considérer la fonction définie par g(x)=ln(f(x)) qui elle vérifie g(x+y)=g(x)+g(y), c'est à dire que c'est un morphisme additif de R->R et on en déduit facilement que c'est une application Q-linéaire.
Sauf que, sans hypothèse de régularité supplémentaire (continuité ou croissance de f donc de g), ben on peut rien dire de plus. Et modulo d'utiliser une base de Hamel (i.e. une base de R en temps que Q-espace vectoriel) on peut définir des tonnes d'application Q-linéaires de R->R (on prend n'importe quoi comme image des éléments de la base) et bien sûr certaines seront injective et d'autres pas : tout dépend du choix des images de la base.

Et sinon, la densité de Q, ça serait effectivement utile ici si tu avait une hypothèse de plus concernant f (continuité ou croissance) vu qu'il est clair que f(r)=(f(1))^r pour tout r de Q et, si f était supposée continue ou croissante, tu en déduirait que f(x)=(f(1))^x pour tout x de R par densité de Q.