Inéquation dans IN

[zygomatique]

c'est une bonne nouvelle ...

[Archytas]

Est ce que la partie décimale de ta suite ne serait tout simplement pas dense dans [0,1] ? ça ne serait pas très étonnant étant donné sa tête et ça expliquerait qu'on trouve pas mal de valeurs aussi proches qu'on veut de 1 (ou 0 ou d'Euler si on veut)

[anthony_unac]

... ou même de votre date de naissance ou de la mienne ... certainement je ne sais pas, je n'ai pas les capacités de répondre à ce type de question. Il me semble avoir lu que pourrait être un nombre univers avec ce type de propriétés qui amusent ou fascinent les amateurs et curieux de ma trempe mais de la à faire une analogie avec les nombres de la forme je ne m'y risquerais pas

[Archytas]

Il me semble que la notion de densité est beaucoup plus maniable que celle de nombre univers. Ce qui m'a fait pensé à ça c'est la suite sin(n). On peut montrer qu'elle est dense dans [-1,1].
D'ailleurs s'il y a des amateurs d'exponentielle complexe j'ai un énoncé qui pourrait vous occuper :

On considère la suite de complexe .
Montrer que pour la suite est équirépartie sur le cercle unité. Est ce encore vrai pour ? Pour ?

[anthony_unac]

Je ne sais pas s'il est aussi simple de parler de densité avec les nombre de la forme qu'avec les nombres de la forme compte tenu du fait que comme je l'expliquais à l'époque :
"Lorsqu'on essai de réécrire , il est possible d'obtenir quelque chose de la forme :

La fonction étant strictement supérieur à (asymptote horizontale) on s'attend à ce que tende vers +inf mais cela ne donne aucune info sur la partie décimale de la chose."
En cherchant sur le net, cette dernière réécriture, pourrait éventuellement faire rappeler la fonction dite de Langevin sauf que est foncièrement différent de 1
En résumé, nous sommes en présence d'un OVNI et personne aujourd'hui ne peut prévoir le comportement de la chose.

[Archytas]

Il y a le critère de Fejér :
Soit une fonction de R+* dans R dérivable et telle que
(i) est monotone
(ii)
(iii)
Alors la suite est équirépartie modulo 1 (i.e. les valeurs prises par la partie décimale de f(n) seront denses dans [0,1] et mieux encore).
On peut appliquer ça à qui vérifie les trois conditions et ça montre que est aussi dense dans [0,1] modulo 1. (et c'est le même outil pour l'énoncé que j'ai posé au dessus, ça marche pour , pour il faut utiliser le critère de Van der Corput pour tuer ce cas pour les entiers et se donner pas mal de peine pour bêta quelconque >1)

Et attention dans ton expression, si coth est minorée, ta suite est majorée or tend vers l'infini

[anthony_unac]

Bonjour,
Donc vous venez de démontrer que les nombres de la forme se rapprocheront aussi près que l'on souhaite d'un nombre entier mais ceci ne donne aucune indication sur la manière de choisir cet entier est ce bien cela ?

[anthony_unac]

Il y a le critère de Fejér :
Soit une fonction de R+* dans R dérivable et telle que
(i) est monotone
(ii)
(iii)
Alors la suite est équirépartie modulo 1 (i.e. les valeurs prises par la partie décimale de f(n) seront denses dans [0,1] et mieux encore).
On peut appliquer ça à qui vérifie les trois conditions

Bonjour,
Après relecture, il me semble que le deuxième critère n'est pas respecté dans la mesure ou
En prenant

[Doraki]

Il y a le critère de Fejér :
Soit une fonction de R+* dans R dérivable et telle que
(i) est monotone
(ii)
(iii)
Alors la suite est équirépartie modulo 1 (i.e. les valeurs prises par la partie décimale de f(n) seront denses dans [0,1] et mieux encore).

euh ça dit quoi au sujet de f(x) = 1-1/x ?

[Archytas]

Désolé le (iii) c'est lim xf'(x) =+infini j'édite mon post
Et anthony je l'applique juste à qui nous dit que sa partie décimale sera équirépartie. Ensuite on a au moins la densité de la partie décimale de et j'imagine qu'avec un peu de boulot on peut même montrer l'équirépartition.

[anthony_unac]

je l'applique juste à qui nous dit que sa partie décimale sera équirépartie. Ensuite on a au moins la densité de la partie décimale de et j'imagine qu'avec un peu de boulot on peut même montrer l'équirépartition.

Bonjour Archytas,
Votre application à la fonction ne change rien au fait que :

En prenant
Autrement dit, il me semble que le critère de Féjer n'est pas l'outils adéquat (dans ce cas) pour démontrer l'équirépartion non ?

[anthony_unac]

Bonjour,
Plus frustrant encore, il semblerait qu'on ne sache pas si les suites de la forme ou sont équidistribuées mod 1 d'après cet article : https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_%C3 ... ibu.C3.A9e
Autrement dit, j'ai bien peur qu'on ne puisse pas dire grand chose sur les nombres de la forme

[Archytas]

Votre application à la fonction ne change rien au fait que :

En prenant
Autrement dit, il me semble que le critère de Féjer n'est pas l'outils adéquat (dans ce cas) pour démontrer l'équirépartion non ?

Exact oui je me suis emballé, ça ne marche pas ici... Je m'étais dit que dense composé continûment donnait un truc dense mais bon comme notre équirépartition ne donne que la densité pour la partie décimale, on a aucune chance de la récupérer pour l'exponentielle réelle (contrairement à l'exponentielle complexe qui se comporte bien puisqu'elle "tue" la partie entière des réels qu'elle mange).
Mea culpa