Inégalité 0

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
darkmaster
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Inégalité 0

par darkmaster » 25 Déc 2006, 16:12

Bonjour à tous,
Soient tels que
Démontrer que
Bonne chance!



samir
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par samir » 29 Déc 2006, 01:16

darkmaster a écrit:Bonjour à tous,
Soient tels que
Démontrer que
Bonne chance!

on a
la fonction x----> est concave sur IR+
alors

d'autre par

càd

d'ou



samir idamia

darkmaster
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par darkmaster » 29 Déc 2006, 01:36

samir a écrit:on a
la fonction x----> est concave sur IR+


sûr? :zen:

samir
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par samir » 29 Déc 2006, 14:15

j'ai pas fait attention
f est concave sur ]1,+l'infini[

namfoodle sheppen
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par namfoodle sheppen » 29 Déc 2006, 15:05

voici une solution plutôt repoussante(donc je saute les grosses étapes de calcul);
-soit (a,b,c) verifiant les conditions intiales; alors en remplaçant (a,b,c) par (x,x,c) avec x=sqrt((a²+b²)/2); les conditions intiales sont toujours vérifiées. De plus on prouve que si a - on remplace dans l'inégalité a et b par x et on prouve que
1/(1-x²)+2/(1-cx)>=1/(1-ab)+1/(1-ac)+1/(1-bc) (on utilisie l'IAG dans x, puis on étudie le résultat).
- on en conclut donc que l'expression est maximum pour a=b=c. C'est a dire quand a=1/(sqrt(3)). On calcule l'expression pour a=b=c et on trouve 9/2, d'ou le resultat.
Dites moi si vous voulez plus de détails.

darkmaster
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par darkmaster » 29 Déc 2006, 15:50

namfoodle sheppen a écrit:voici une solution plutôt repoussante(donc je saute les grosses étapes de calcul);
-soit (a,b,c) verifiant les conditions intiales; alors en remplaçant (a,b,c) par (x,x,c) avec x=sqrt((a²+b²)/2); les conditions intiales sont toujours vérifiées. De plus on prouve que si a=1/(1-ab)+1/(1-ac)+1/(1-bc) (on utilisie l'IAG dans x, puis on étudie le résultat).
- on en conclut donc que l'expression est maximum pour a=b=c. C'est a dire quand a=1/(sqrt(3)). On calcule l'expression pour a=b=c et on trouve 9/2, d'ou le resultat.
Dites moi si vous voulez plus de détails.


huhm, je connais un peu de cette méthode, elle s'appelle "Mélangeage de variables" ou quelque chose comme ça. Peut-etre tu es correct, mais utilisation de cette méthode exige trop de calcul. Normalement, j'utilise pas cette méthode.
Je propose une autre méthode:

L'inégalité devient

On a

Par le même façon , on trouve 3 inégalités, en ajoutant on a:

Merci quand même pour ta solution.

namfoodle sheppen
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par namfoodle sheppen » 29 Déc 2006, 20:43

darkmaster a écrit:huhm, je connais un peu de cette méthode, elle s'appelle "Mélangeage de variables" ou quelque chose comme ça.

Oui ou lissage vers la moyenne aussi. C'est vrai que ta démonstration a le mérite d'être (presque) directe.

fahr451
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par fahr451 » 29 Déc 2006, 23:35

c 'est quoi L 'IAG s'il vous plait?

namfoodle sheppen
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par namfoodle sheppen » 30 Déc 2006, 00:13

IAG : inégalité arithmético-géométrique: soit a1,a2,...,an n réels strictement positifs, alors (a1+a2+...+an)/n>=(a1*a2*...*an)^(1/n)
tu peux la démontrer en utilisant la concavité de la fonction logarithme

MikO
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par MikO » 30 Déc 2006, 00:31

faut vraiment que j'etudie les inegalites moi :p

fahr451
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par fahr451 » 30 Déc 2006, 00:32

merci
vi je connais l'inégalite mais pas son abréviation faudrait plutôt l'appeler alors

IAGH à toi de me dire pourquoi : )

namfoodle sheppen
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par namfoodle sheppen » 30 Déc 2006, 01:23

peut-être parce que c'est une conséquence de l'inégalité de Hölder...

fahr451
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par fahr451 » 30 Déc 2006, 01:25

ah non :)

moyenne Arithmétique,moyenne Géométrique et moyenne ...

namfoodle sheppen
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par namfoodle sheppen » 30 Déc 2006, 01:31

harmonique dans ce cas ;)

fahr451
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par fahr451 » 30 Déc 2006, 01:36

vi:)
sérieusement il y a une inégalté qui revient souvent dans vos réponses d'exos d'olympiades que j'avoue ne pas connaitre

inégalité de Mulder ( et Scully?) ou Murray

qu est ce s'il te plait ?

namfoodle sheppen
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par namfoodle sheppen » 30 Déc 2006, 01:59

Je ne connais pas ton inégalité; mais vas voir sur le site d'animath, il y aura tout ce que tu veux savoir à ce sujet :we: (à moins que tu ne parles de celle de Muirhead ?).

fahr451
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par fahr451 » 30 Déc 2006, 02:01

voila muirhead merci

namfoodle sheppen
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par namfoodle sheppen » 30 Déc 2006, 02:03

http://www.animath.fr/cours/inegalites.pdf chapitre 5 il y aura tout ce que tu veux sur cette inégalité en beaucoup mieux expliqué que je ne le ferais.

fahr451
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par fahr451 » 30 Déc 2006, 02:14

merci pour ce beau lien très agréable à lire

finalement dans ce cours muirhead est l'inégalité délicate.

 

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