Soit a,b,c des réels positifs non nuls tel que abc=1
Prouver que
BNE CHANCE :ptdr:
Inégalité!!
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inégalité!!
par Mohamed » 29 Juil 2006, 21:56
bonsoir tt le monde. voici une inégalité :
Soit a,b,c des réels positifs non nuls tel que abc=1
Prouver que
} + \frac{1}{b^3(c+a)} + \frac{1}{c^3(a+b)} \geq 3/2)
BNE CHANCE :ptdr:
Soit a,b,c des réels positifs non nuls tel que abc=1
Prouver que
BNE CHANCE :ptdr:
par nada-top » 30 Juil 2006, 00:42
HOLA :ptdr:
par symétrie de rôle on suppose que
(1)
(c'est facile à voir) ..et on a d'aprés CAUCHY-SCHWARZ on a : ((b+c)+(a+c)+(a+b)) \geq (3)^2 =9)
(*) ( démo. si on pose 
et 
et 
alors (\frac{1}{X_1}+\frac{1}{X_2}+\frac{1}{X_3}\geq (\sum_{i=1}^{3} (\sqrt{X_i}.\frac{1}{\sqrt{X_i} } )^2) = 3^2=9)
)
et on a
(2)..donc de (1) et (2) et selon l'inégalité de Shybechev on } + \frac{1}{b^3(a+c)} + \frac{1}{c^3(a+b)} \geq \frac{1}{3} (\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} ))
)
} + \frac{1}{b^3(a+c)} + \frac{1}{c^3(a+b)} \geq \frac{1}{3} (\frac{a^3b^3 +b^3c^3+ a^3c^3}{(abc)^3} ))
;(abc=1))
} + \frac{1}{b^3(a+c)} + \frac{1}{c^3(a+b)} \geq \frac{1}{3} (a^3b^3 +b^3c^3+ a^3c^3 ))
et puisque\geq (a+b+c))
(**)
donc de (*) et (**) on déduit :
} + \frac{1}{b^3(a+c)} + \frac{1}{c^3(a+b)} \geq \frac{1}{3} (a+b+c) \frac{9}{2(a+b+c)})
d'ou le resultat} + \frac{1}{b^3(a+c)} + \frac{1}{c^3(a+b)} \geq \frac{3}{2})
( ouuuf enfin.. ce latex est vraiment pénible
, j'espère au moins que c'est juste )
par symétrie de rôle on suppose que
(c'est facile à voir) ..et on a d'aprés CAUCHY-SCHWARZ on a :
et on a
et puisque
donc de (*) et (**) on déduit :
d'ou le resultat
( ouuuf enfin.. ce latex est vraiment pénible
, j'espère au moins que c'est juste )par nada-top » 30 Juil 2006, 13:50
( ouuuf enfin.. ce latex est vraiment pénible , [FONT=Comic Sans MS]j'espère au moins que c'est juste[/FONT]:soupir2: )
:soupir2: :soupir2: il y a personne ici pour rectifier ...il y a une grosse faute la haut ..je vais voir comment je peux régler :--:
par nada-top » 01 Aoû 2006, 09:31
bonjour...
ça se voit trés bien que}= \frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}})
et de meme }= \frac{\frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}})
et }= \frac{\frac{1}{c^2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}})
donc d'aprés [FONT=Comic Sans MS]Cauchey Shwarz [/FONT] on déduit que : 
)
+(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})) \geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2)
/2)
et d'autre part on remarque que  \geq 3 ; (abc=1))
d'ou on conclut
}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(b+a)} \geq \frac{3}{2})
...et voilà il suffisait d'appliquer l'inégalité de Caushey Shwarz :++:
ça se voit trés bien que
par robin » 01 Aoû 2006, 10:48
Bonjour,
C'est la même chose, mais pourquoi utiliser}=\frac {\frac {1}{a^2}}{\frac {1}{b}+\frac {1}{c}})
? Comme abc=1, 
. Alors d'après l'inégalité de Cauchy Shwarz :
})(\sum a(b+c)) \geq (\sum ab)^2)
ce qui est équivalent à :
} \geq \frac {\sum ab}{2} = \frac {3(abc)^{2/3}}{2}=\frac {3}{2})
.
C'est la même chose, mais pourquoi utiliser
par nada-top » 01 Aoû 2006, 11:02
Hola
tu l'as dis
tu l'as dis
..et moi j'ai fait ça juste pour simplifier car j'ai pas encor étudié par exemple la dernière forme que tu as utilisé avec la puissance 2/3 ...(je suis encore en première)C'est la même chose
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