Inégalité olympiade

[mathlegend]

x.y et z sont des réels strictement positifs vérifiant ( xyz =1)

démontrer que : x^3/(1+y)(1+z) + y^3/(1+x)(1+z) + z^3/(1+x)(1+y) >= (3/4)

[mathlegend]

aucun personne

[Olympus]

Salut !

Vu que personne répond, voici ma solution :

En multipliant par puis en développant, l'inégalité devient équivalente à :

Or on a par AM-GM :






En sommant, on obtient l'inégalité désirée .

PS : j'avoue avoir été resté sec là dessus pendant plusieurs heures ...

[mathlegend]

c'est bien ca :ptdr:
tu es le seul qui a pu la prouver

[windows7]

heu , j'ai le droit dutiliser les multiplicateur de lagrange ?

[Olympus]

heu , j'ai le droit dutiliser les multiplicateur de lagrange ?

Salut !

Même si ce n'est pas olympique, pourquoi pas, j'aimerais bien voir à quoi ça ressemble dans cet exercice :we:

[windows7]

Salut !

Même si ce n'est pas olympique, pourquoi pas, j'aimerais bien voir à quoi ça ressemble dans cet exercice :we:

salut Olympus, tu connais un peu la theorie qu'il y'a derriere ?
Je suis mauvaise langue car dans le cas present ca va pas etre beau, mais alors pas du tout

[Olympus]

salut Olympus, tu connais un peu la theorie qu'il y'a derriere ?
Je suis mauvaise langue car dans le cas present ca va pas etre beau, mais alors pas du tout

Salut !

J'avais un peu lu sur le sujet mais j'avais vite abandonné la méthode ^^

Si j'ai bien compris, on définit une fonction exprimant notre contrainte ( ici ) et la fonction qu'on veut optimiser ( ici je pose ) .

On résout .





Si , alors . Réciproquement, tout triplet avec vérifie notre système .

Par contre quand , je ne peux pas dire grand chose :ptdr:

En tout cas, si on arrive à montrer que l'ensemble des solutions est , alors il suffira d'utiliser notre contrainte pour en déduire que le seul point critique ici est .

Deuxième problème : je ne sais pas si c'est le maximum ou le minimum qui est atteint en ce point :briques:

En gros, je connais juste l'idée globale : se dire que les deux gradients doivent être colinéaires et résoudre le système correspondant pour avoir les points critiques, mais le reste ( pourquoi les deux gradients doivent être colinéaires, les preuves des théorèmes associés ( l'existence d'un lambda unique etc... ) ... ) ... :help:

EDIT : je me rends compte que j'ai jeté une équation à la poubelle et que mon dernier système ne veut plus rien dire ... :ptdr:

[tahasinbad]

salut olympis jvoudrais te parlé privé , ajout mon msn ( tahasinbad@hotmail.com ) , c'est juste pour kelkechose ke je voudrai te demender necessairement!!