Inégalité monstrueuse

[Timothé Lefebvre]

Bonsoir à tous

Vous trouverez dans le fichier ci-joint une OIM vraiment dure.
J'ai demandé à quelques amis de me prêter main forte, vous verrez jusqu'à où nous sommes allés. L'un d'entre eux pense qu'il faut s'en tirer avec Cauchy Schwarz mais on ne voit pas comment !

Si vous avez des idées pour la suite ...

Voir le Fichier : OIM_ineg_09.pdf

Bonne fin de journée !

Tim

[ffpower]

Salut!On peut simplifier encore un peu ce que tu as fait( ton terme peut se changer en puisque la somme des x_i est nulle).Donc l'inégalité se résume a prouver que si , alors . Fixons un n-uplet et posons avec a et b choisis de sorte que et . On constate alors que ce qui permet d effectuer le calcul suivant:

(avec égalité ssi pour tout i)
Il suffit donc de vérifier que l on a bien l égalité pour pouvoir conclure aux 2 questions a la fois

[ffpower]

Pas convaincu?

[Timothé Lefebvre]

Ah excuse-moi je ne t'ai pas répondu !

Au final on a trouvé (avec de l'aide :lol2:) une solution.

On a continué sur ce qu'on avait déjà fait en appliquant Cauchy-Schwarz puis avec une petite récurrence.

Pour la question 2 on a terminé en disant que l'égalité était respectée si celle qui découlait de C-S était respectée, donc si les sont prop aux ce qui est bien évidemment une progression arithmétique. Réciproquement, ce dernier cas exhibe bien une égalité aussi.

[ffpower]

ah tiens je pensais pas qu on pouvait s en sortir avec du Cauchy schwarz,car j avais l impression qu on ne tient plus compte des compensations dans la somme due aux signes des termes.A moins p-e que vous bidouillez un peu la somme pour en obtenir une nouvelle ayant uniquement des termes positifs..

[benekire2]

Juste une petioute question: Comment on montre que la somme de xi est nulle? Merci,
Pour tim: Sur animath il y en a des trucs sur les ommes comme ça ??

[Timothé Lefebvre]

Comment montre-t-on que la somme des x_i est nulle.

Eh bien l'énoncé fournit une relation d'ordre aux x_i et on remarque que l'inégalité ne montre pas de tel agencement. C'est un indice pour dire qu'il faut casser ce cycle.

On introduit un c constant puis on décale les x_i en posant x_i-c.
Le fait que c soit constant permet de ne rien modifier dans l'énoncé.

De là on peut supposer la somme des x_i nulle.

Par rapport à Animath, non tu ne trouveras pas ce genre d'énoncé sur leur site (enfin je ne crois pas, je l'ai tout de même bien fouillé !)

[benekire2]

tu veut dire qu'on écrit
sans que ca ne change rien.

Je suis totalement perdu, détaille ton raisonnement s'il te plait.

[Timothé Lefebvre]

As-tu consulté mon PDF ?

On a donc :



On applique C-S, ce qui nous donnait l'équation (1) :



On se rappelle que et (par récurrence) donc :

}

Pour que l'égalité soit respectée, (1) doit l'être. D'où la prog arithmétique.

[benekire2]

Oui je l'ai consulté, naturellement, mais c'est pas pour ça que j'avais compris pour autant.

[benekire2]

As-tu consulté mon PDF ?

On a donc :

Euh, le j il passe à la trappe.

[Timothé Lefebvre]

Si tu n'as pas l'habitude de manier les sommes de ce genre il faut commencer par en étudier de plus simple, parce que celle-ci n'est pas vraiment recommandable pour commencer ...

[benekire2]

Non j'ai pas l'habitude de manier les sommes!! As tu des recommandations, des sites qui expliquent bien? Merci!!

[Timothé Lefebvre]

Non, il est simplifié.
Voici le premier termes et ses transformations :

[benekire2]

En quelques sorte, on considère que c'est la mème variable découpée en i et j que l'on recolle ici?

[Zweig]

Quand tu as affaire à une double somme, "éclate"-la sous la forme d'un tableau et somme chaque colonne du tableau.

Pour être plus clair, je dois calculer , avec une suite de réels.

Je m'occupe de la somme en :

Pour la somme en , je marque les lignes les unes en dessous des autres :

:

:

...

:

Puis je somme les colonnes.

Un petit exercice pour te faire la main (bon, j'avoue que la "technique" précédente est inutile)

Calculer

avec le plus petit des deux réels considérés.

[benekire2]

Ca y est j'ai pu comprendre le raisonnement, enfin!! Merci a tout ceux qui on contribué a ma compréhension, particulièrement toi Tim!

[Timothé Lefebvre]

Lol de rien ^^
Tout à l'heure je te file un ou deux exos de manip de sommes ;)

[benekire2]

ok merci bien tim ^^

[Timothé Lefebvre]

Voilà m'sieur :)

Je t'ai mis quelques indices dont tu n'auras pas besoin mais c'est juste pour la route (histoire d'intéresser d'autres personnes que nous, tout de même !)