Inégalité, matrice symétrique

[adrien69]

Salut tout le monde,
Ce matin lors de mon exam d'analyse numérique une question m'a résistée. Je la poste ici autant parce qu'elle est intéressante que parce que j'aimerais bien en connaître une rédaction.

Information utiles.
On considère l'espace muni du produit scalaire euclidien : associé à la norme euclidienne.
On note A une matrice symétrique réelle positive de taille d et ..., ses valeurs propres où l'on suppose de plus

On note une base orthonormale associée.

On définit ensuite une suite de points dans
définie par pris quelconque avec 0

puis pour tout n plus grand que 1,

On donne ensuite



On peut montrer facilement que pour n plus grand que 1 on a :



Question :

Montrer que



où est donné par


Bonne chance.

[Supernova]

Salut tout le monde,
Ce matin lors de mon exam d'analyse numérique une question m'a résisté. Je la poste ici autant parce qu'elle est intéressante que parce que j'aimerais bien en connaître une rédaction.

Information utiles.
On considère l'espace muni du produit scalaire euclidien : associé à la norme euclidienne.
On note A une matrice symétrique réelle positive de taille d et ..., ses valeurs propres où l'on suppose de plus

On note une base orthonormale associée.

On définit ensuite une suite de points dans
définie par pris quelconque avec 0

puis pour tout n plus grand que 1,

On donne ensuite



On peut montrer facilement que pour n plus grand que 1 on a :



Question :

Montrer que



où est donné par


Bonne chance.

dommage qu'on a pas encore étudié les espaces préhilibertiens! j'aurais aimé participer à la discussion :/

[Doraki]

Par base orthonormée associée ça veut dire que si x0 = somme des ai.ei, alors A x0 = somme des (;)i*ai).ei
A est positive donc on a d >= 0 (et en particulier 2² ... d² = a1 est supposé non nul.

Après c'est juste du calcul

[adrien69]

Après c'est juste du calcul

C'est juste du calcul mais un calcul rondement bien mené tout de même ! Bravo !

En passant, comme on a aussi
eh bien on a trouvé un moyen numérique à convergence géométrique de trouver la valeur propre dominante d'une matrice symétrique réelle.

Cimer !

[Doraki]

oui l'autre inégalité est presque triviale.

Et même avec une matrice non symétrique, tu peux calculer la valeur propre de plus grand module comme ça, pourvu qu'elle soit réelle et unique (s'il s'agit d'une paire de complexes conjugués c'est un poil moins immédiat de lire son module et son argument sur le comportement de A^n x0)

Si regardes l'action de A sur les droites vectorielles de R^d,
l'espace propre associé à la plus grande valeur propre est un point fixe attractif tandis que l'hyperplan généré par les autres espaces caractéristiques est globalement fixe, mais répulsif.
Et quand tu converges vers un point fixe attractif, ben tu le fais toujours de manière géométrique (ça dépend du jacobien de l'action de A en ce point fixe).

Dans le même genre, pour trouver la racine de plus grand module d'un polynôme X^d - somme des ai X^(d-i), tu regardes les suites récurrentes u(n) = somme des ai u(n-i). A moins que t'aies pas de bol quand tu pioche une suite au hasard, le rapport de 2 termes consécutifs va converger vers cette racine, encore de manière géométrique.