Inégalité géométrique

[Zweig]

Salut,

Une inégalité que j'ai inventée, je ne sais pas si elle résistera longtemps ... :lol3:

On se donne un triangle ABC avec , et . Du sommet A, on abaisse une droite qui intersecte le côté opposé (BC) au point X. On pose et .

Montrer l'inégalité suivante :

[benekire2]

Indication. Ecrire b=y+z et c=x+z

[chan79]

Salut,

Une inégalité que j'ai inventée, je ne sais pas si elle résistera longtemps ... :lol3:

On se donne un triangle ABC avec , et . Du sommet A, on abaisse une droite qui intersecte le côté opposé (BC) au point X. On pose et .

Montrer l'inégalité suivante :

On peut l'obtenir comme conséquence de la généralisation du théorème de la médiane à toute cévienne.

Comme AX²>=0







ce qui donne l'inégalité voulue

[hammana]

On peut l'obtenir comme conséquence de la généralisation du théorème de la médiane à toute cévienne. Ecrire que AX² est positif.

On peut aussi raisonner come suit:

Si dans l'expression b²/y+c²/x-a>0 ou xb²+yc²-axy>0 on remplace y par a-x, on est amené à montrer que le trinôme:
ax²+(b²-c²-a²)x+ac² est toujours positif. Il est facile de mettre son discriminant sous la forme:
(b-a-c)(b+a+c)(b-a+c)(b+a-c)
qui est toujours négatif (inégalités triangulaires).

[Imod]

En effet Hammana , c'est net , propre et complètement élémentaire :++: .

Imod

[hammana]

En effet Hammana , c'est net , propre et complètement élémentaire :++: .

Imod

Oui, c'est facile après coup. Mais celui qui a imginé ce problème ne l'a pas fait après avoir calculé un déterminant. On aimerait connaître le cheminement de pensée qui l'a conduit à conjecturer la proposition.

[Imod]

C'est généralement la question que l'on se pose après une solution analytique ou algébrique à un problème géométrique car la solution n'explique souvent rien . Ici j'ai vaguement l'impression que la signification géométrique a été introduite après coup car l'inégalité est plutôt artificielle .

Imod

[Zweig]

Mais celui qui a imginé ce problème ne l'a pas fait après avoir calculé un déterminant. On aimerait connaître le cheminement de pensée qui l'a conduit à conjecturer la proposition.

En effet, j'ai inventé ce problème après avoir rédoucvert un article que j'avais écrit sur Wikipédia y a 5 ans déjà sur le théorème de Stewart (généralisation du théorème de la médiane). Ma solution est donc celle de chan79 :lol3:.

[benekire2]

En ecrivant b=y+z ; c =x+z et a=x+y histoire de délier les variables, on doit montrer que :
x+y=

[hammana]

En ecrivant b=y+z ; c =x+z et a=x+y histoire de délier les variables, on doit montrer que :
x+y=<y+2z+x+2z+(1/x+1/y)z² ce qui est vrai

Excellent !!!