Inégalité de complexes

[benekire2]

Bonsoir !

Je propose un petit exercice sur les complexes :

Soit Montrer que

Ça n'utilise aucun gros outils .

Quid de l'égalité? de la généralisation ?

Bon travail :happy3:

[Anonyme]

Rassure moi, tu as une solution sans élever au carre ? :ptdr:

[Ben314]

Si ça peut te rassurer, oui...

[benekire2]

Si ça peut te rassurer, oui...

N'empêche que moi aussi a un moment j'ai élever au carré et j'ai trouvé ça trop horrible, surtout si on veut tenter une généralisation ...

[Anonyme]

J'arrive a rien d’intéressant. Un indice ?

[Ben314]

Un indice achement balèze : il faut songer à utiliser l'inégalité triangulaire... :mur:
Un autre plus "utile" : il suffit d'utiliser astucieusement l'inégalité triangulaire... :hein:

P.S. : Pour l'énoncé de départ, j'ai la preuve ET les cas d'égalité.
Pour n=3, j'ai une inégalité "similaire" ET les cas d'égalité.
Pour n>4, j'ai une inégalité similaire mais je n'ai pas les cas d'égalité (l'inégalité est elle "améliorable" ?)

[benekire2]

Un indice achement balèze : il faut songer à utiliser l'inégalité triangulaire... :mur:
Un autre plus "utile" : il suffit d'utiliser astucieusement l'inégalité triangulaire... :hein:

Waouh ... avec ça Qmath avance :ptdr:

Qmath > J'ai envoyé un indice sur ta boite MP : 6z1=2(z1+z2)+2(z1+z3)+2(z1+z4)-(z2+z3)-(z2+z4)-(z3+z4)

puis ... inégalité triangulaire ,

Ou alors : Montrer "l'identité du parallélogramme" pour tout z,z' complexes |z|+|z'|=<|z+z'|+|z-z'|

[Anonyme]

Waouh ... avec ça Qmath avance :ptdr:

Qmath > J'ai envoyé un indice sur ta boite MP : 6z1=2(z1+z2)+2(z1+z3)+2(z1+z4)-(z2+z3)-(z2+z4)-(z3+z4)

puis ... inégalité triangulaire ,

Ou alors : Montrer "l'identité du parallélogramme" pour tout z,z' complexes |z|+|z'|=<|z+z'|+|z-z'|

En fait j'ai réussi a la démontrer hier mais sans l'indice que tu m'a envoyé (6z1= ... ) car tu avais oublie les facteur "2" pour les 1er termes du coup j'ai rien compris ...

Voila comment j'ai fait:

Soit z , z' et z'' des complexes montrons que .

Je suppose sans perte de généralité que . En divisant le tout par |z| l’inégalité de réécrit:



or et
donc

CQFD

On a donc

En prenant nous obtenons:


Puis en prenant on obtient:


En additionnant :


Comme l’inégalité est symétrique on peut considérer que .

Finalement on trouve l’inégalité.

Sinon Benekire tu a fait comment avec ton 6z1 et l’identité du parallélogramme ?
Aussi y a t-il une interprétation géométrique a cette inégalité ? (parce qu'au début et jusqu'a ce que Benekire me donne un indice j’étais parti sur une piste géométrique mais j'ai rien trouve ..)

[Anonyme]

Il y a égalité si et et

Je ne sais pas s'il s'agit du seul cas.

[benekire2]

Ben , j'ai deux méthode pour le "machin" , avec l'identité du parallélogramme et l'autre :
6z1=2(z1+z2)+2(z1+z3)+2(z1+z4)-(z2+z3)-(z2+z4)-(z3+z4)

ie 6|z1|=<2|z1+z2|+2|z1+z3|+2|z1+z4|+|z2+z3|+|z2+z4|+|z3+z4|

Puis tu fait circuler sur z2 z3 et z4 pour avoir des trucs similaires et tu somme le tout ,

[Olympus]

Ben , j'ai deux méthode pour le "machin" , avec l'identité du parallélogramme et l'autre :
6z1=2(z1+z2)+2(z1+z3)+2(z1+z4)-(z2+z3)-(z2+z4)-(z3+z4)

ie 6|z1|=<2|z1+z2|+2|z1+z3|+2|z1+z4|+|z2+z3|+|z2+z4|+|z3+z4|

Puis tu fait circuler sur z2 z3 et z4 pour avoir des trucs similaires et tu somme le tout ,

Euh maintenant que j'y regarde de près, cela ne marche pas ...

EDIT : j'ai parlé trop vite, cela marche en effet, désolé ! ( j'avais sommé sur 3 variables uniquement c'est pour ça )

[Anonyme]

Edit: En fait ça marche

[Anonyme]

Ben est ce que ta demo est differente ?

[Ben314]

Non, ma preuve est (comme par hasard... :lol3: ) une des deux proposées par Benekire : celle ou on écrit 6z1=2(z1+z2)+2(z1+z3)+2(z1+z4)-(z2+z3)-(z2+z4)-(z3+z4).
En fait, on peut aussi écrire que, pour tout i,j,k deux à deux distincts, on a
2zk=(zk+zi)+(zk+zj)-(zi+zj)
puis faire la somme sur tout les triplets i,j,k : ça donne le même résultat.
Pour n=1 ou 2, évidement, ça donne absolument rien (ce qui est évident dés la départ)
Pour n=3 ou 4, ca donne une inégalité dont on arrive assez facilement à montrer qu'elle est optimale et même on peut trouver tout les cas d'égalité (pour n=4, c'est effectivement (z1,z2,z3,z4)=(z,z,-z,-z) à permutation prés)
Par contre, pour n>=5, je ne suis pas sûr que l'inégalité soit optimale.

Donc, pour ceux qui veullent aller plus loin :

Pour fixé, quelle est la plus petite constante telle que :
?

[Anonyme]

C'est quoi une inégalité optimale ?

et comment montrer qu'il y a seulement un cas d’égalité ?

[Ben314]

C'est quoi une inégalité optimale ?
et comment montrer qu'il y a seulement un cas d’égalité ?

"Optimal" ça veut dire que "on ne peut pas faire mieux".
Dans le contexte présent, ce que je voulais dire, c'est que la plus petite constante telle que :

C'est
Pour montrer que c'est optimal, il suffit par exemple de montrer qu'il y a des cas d'égalité (avec des valeurs non nulles).
Pour trouver les cas d'égalité, le plus simple est de regarder la preuve que tu as faite et de regarder les cas d'égalité dans chaque inégalité que l'on a écrit.
On part évidement du fait que, dans l'inégalité triangulaire , l'égalité n'a lieu que lorsque et sont colinéaires et de même sens.

[Anonyme]

Merci Ben :lol3:

[benekire2]

Salut à tous ,

Ben >> Et oui , quel hasard que ta méthode se retrouve dans les deux que je conseillent :zen:

L'histoire d'optimalité m'intéresse et à mon avis ça risque de pas être simple .. :lol3:

[Anonyme]

Salut à tous ,

Ben >> Et oui , quel hasard que ta méthode se retrouve dans les deux que je conseillent :zen:

Ça a déjà été posté sur le forum ?

[benekire2]

Ça a déjà été posté sur le forum ?

Je n'en sais rien , mais c'est ben qui m'avait donné la soluce ( avec 6z1= .... )