Srinivasa Ramanujan (1887 - 1920) est un mathématicien indien. Autodictacte, il se forma aux mathéematiques à l'aide d'un livre,
Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics de S. Carr, regroupant plus de 6000 théorèmes, tous donnés sans démonstrations. Ce dernier point l'inuença grandement : il ne démontrait jamais ses formules. Pour 'connaître' leur validité, il ne faisait confiance qu'à sa prodigieuse intuition. Si bien que certaines de ses formules se sont averées par la suite fausses ... Mais d'autres vraies ! Voici l'une d'entre elles :
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L'objectif de ce problème est de démontrer un résultat plus général :
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\sqrt{1+(x+2)\sqrt{ \cdots}}}} = x+2)
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On pose
 = \sqrt{1+x\sqrt{1+(x+1)\sqrt{1+(x+2)\sqrt{ \cdots}}}})
1) Montrer que
vérifie l'équation fonctionnelle suivante : [CENTER]
]^2 = xf(x+1) + 1)
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2) Vérifier que
 = x + 1)
est solution de l'équation ci-dessus.
3) Montrer la double inégalité :
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 < 2(x+1))
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On veut donc montrer que
est l'unique solution du système :
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]^2 = xf(x+1) + 1\\\forall x\geq 1\,:\, \frac{x+1}{2} < f(x) < 2(x+1))
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4) Justifier l'existence de constantes positives
et
telles que :
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\in[1,\,+\infty[\times \mathbb{N}\,:\, \alpha^{-\beta^k} < f(x) < \alpha^{\beta^k})
[/CENTER]
5) Conclure.
