Homogénéisation d'une inégalité

[Anonyme]

Bonjour à tous !

Je viens de parcourir un peu le forum "Olympiades" et j'entends parler d'homogénéisation d'une inégalité. En quoi consiste ce procédé ? Est-ce pratique ? Comment s'y prendre en fait ?
Merci d'avance !

[Olympus]

Salut !

C'est un procédé qui consiste à mettre tous les termes de l'inégalité au même degré, en exploitant les données de l'exercice .

Exemple :

et .

Montrer que :

.

( solution ici : http://maths-forum.com/showthread.php?t=102993 )

On voit clairement que les membres de l'inégalité ne sont pas du même degré, l'un est de degré 4, l'autre de degré 2 .

Mais, selon les données, on a : , donc .

Donc si on multiplie le membre gauche de l'inégalité par , et le membre de droite par , l'inégalité ne change pas car on a multiplié par des quantités égales, donc l'inégalité du départ devient équivalente à :

.

Et voilà on a homogénéisé l'inégalité, car les deux membres ont le même degré maintenant ( 6 ) .

[Olympus]

Note aussi qu'une fois l'inégalité homogénéisé, on travaille dans le cas général, càd, on ne se sert plus des conditions initiales ( dans l'exemple précédent, on ne se sert plus de une fois homogénéisé ) .

Pour les avantages de l'homogénéisation :

- Pouvoir utiliser Muirhead/Schur sans problèmes ( très faciles à remarquer une fois homogénéisé et développé ) .
- Pouvoir réécrire sous forme de sommes de carrés ( on peut se servir de Muirhead juste pour "voir" ce qu'il faut réécrire sous forme de somme de carrés ) .

[benekire2]

- Pouvoir réécrire sous forme de sommes de carrés ( on peut se servir de Muirhead juste pour "voir" ce qu'il faut réécrire sous forme de somme de carrés ) .

C'est tellement beau réécrit sous forme de somme de carrés

[Anonyme]

C'est tellement beau réécrit sous forme de somme de carrés

Tu es décidément très en forme aujourd'hui ! :langue2:

Merci pour ces explications Olympus, je pense avoir compris ! Il faut désormais s'entraîner

[Olympus]

Aussi, quand tu veux mettre par exemple a+b+c+1 au degré 1 avec comme condition abc=1, alors tu n'as qu'à remarquer que , donc .

Ou alors, faire le fameux changement de variables : .

Pourquoi avoir fait ce changement de variables ? Car ce qui respecte donc la condition initiale .

Donc , tout est de degré 0 là .

[Olympus]

C'est tellement beau réécrit sous forme de somme de carrés

Ouép mais faut toujours avoir un logiciel pour développer au cas où l'expression est trop énorme :we:

[Jota Be]

Aussi, quand tu veux mettre par exemple a+b+c+1 au degré 1 avec comme condition abc=1, alors tu n'as qu'à remarquer que , donc .

Ou alors, faire le fameux changement de variables : .

Pourquoi avoir fait ce changement de variables ? Car ce qui respecte donc la condition initiale .

Donc , tout est de degré 0 là .

Bonjour,
je viens ici juste par curiosité et il y a quelque chose que je n'ai pas compris : pourquoi est-ce que sont-il de degré 1 ?

[manoa]

Bonjour,
je viens ici juste par curiosité et il y a quelque chose que je n'ai pas compris : pourquoi est-ce que sont-il de degré 1 ?

Ces termes sont de degré 0 et non 1, du fait que x,y et z sont de degré 1 donc leurs rapports deux à deux sont de degré 0.

Et merci pour le up c'est intéressant .