Histoire de chapeaux

par **Zweig** » 29 Déc 2008, 14:09

Salut,

Etant donné

personnes à une réception, chacune ayant posé son chapeau à l'entrée, quelle est la probabilité que tous les invités repartent chacun avec un chapeau autre que le sien, si le préposé rend les chapeaux au hasard ?

par **farator** » 29 Déc 2008, 14:26

Bin .. je répondrais simplement 1/n ?

par **Clembou** » 29 Déc 2008, 15:27

Zweig a écrit:Salut,

Etant donné personnes à une réception, chacune ayant posé son chapeau à l'entrée, quelle est la probabilité que tous les invités repartent chacun avec un chapeau autre que le sien, si le préposé rend les chapeaux au hasard ?

On peut voir l'énoncé par les permutations. Combien y-a-t-il de permutations

tel que

?

par **lapras** » 29 Déc 2008, 15:35

C'est évident, non ?

par **sirdebay** » 29 Déc 2008, 15:42

farator a écrit:Bin .. je répondrais simplement 1/n ?

Nombre de possibilités de distibuer les chapeaux : n!
Nombres de cas où chacun part avec son chapeau : n

rapport : n/n!

çàd probabilité que chacun parte avec le ch d'un autre .. = 1 - 1/(n-1)!

par **lapras** » 29 Déc 2008, 15:48

lol :happy2: :id:

par **Imod** » 29 Déc 2008, 16:41

Les transformations évoquées par Zweig s'appellent des dérangements , en moyenne , une personne sur les n récupère son chapeau .

Imod

par **Zweig** » 29 Déc 2008, 16:41

Je viens de voir la réponse, et elle est de l'ordre de 1/e, pour n assez grand :id2:

par **farator** » 29 Déc 2008, 17:07

lapras a écrit:C'est évident, non ?

Ca dépend pour qui :zen:

Oula j'ai dit n'importe quoi :doh:

sirdebay a écrit:Nombre de possibilités de distibuer les chapeaux : n!
Nombres de cas où chacun part avec son chapeau : n

rapport : n/n!

çàd probabilité que chacun parte avec le ch d'un autre .. = 1 - 1/(n-1)!

Le 1er gars arrive, pas de souci

Mais le deuxième : soit le premier a pris son chapeau, auquel cas p=1, soit il est encore dans le tas, auquel cas p=(n-2)/(n-1) etc ....
C'est bien plus complexe ^^

par **farator** » 30 Déc 2008, 11:00

Salut,

J'ai réfléchi un peu, avec mes faibles moyens^^

Si n=3 :
X, Y, et Z trois personnes, propriétaires des chapeaux x, y et z

Il y a n! possibilités de tirage :

X prend : x | x | y | y | z | z

Y prend : y | z | x | z | x | y

Z prend : z | y | z | x | y | x

(à lire en colonne)

Il y a donc deux tirages qui marchent :
X prend y, Y prend z et Z prend x
X prend z, Y prend x et Z prend y

La probabilité est donc :
2.(1/n!) = 2[(1/3)(1/2)(1)] = 1/3

Il faudrait donc retrancher au nombre de permutations possibles celles pour lesquelles X prendrait x, et/ou Y prend y, et/ou Z prend z ... et le diviser par n!

y'a de l'idée ?

par **nodgim** » 30 Déc 2008, 13:01

Pour n=4, il y a 24 permutations possibles et 9 qui répondent au problème.
9/24=3/8 se rapproche bien de 1/e.
Sans avoir regardé à fond, 1/e doit venir de (1-1/n)^n ou qq chose comme ça.

par **ThSQ** » 30 Déc 2008, 15:56

Juste pour proposer une variante à cet exo (très connu) :

nb de permutations telles que

par **farator** » 30 Déc 2008, 16:21

farator a écrit:Il faudrait donc retrancher au nombre de permutations possibles celles pour lesquelles X prendrait x, et/ou Y prend y, et/ou Z prend z ... et le diviser par n!

n! - (n!/n) - [(n-2)/(n-1)][(n!)/n] - ... tout ça divisé par n!

Je n'arrive pas à trouver le ... ^^

par **Patastronch** » 30 Déc 2008, 18:06

Pourquoi 1/n c'est pas bon ?

Si vous pouvez m'éclairer sur l'erreur de raisonnement :
Nombre de possibilité d'atribuer les n chapeaux : n!
Nombre de répartition des chapeau ou aucun chapeau n'appartient a son propriétaire :
Le premier a le choix entre n-1 chapeaux
Le second : n-2
....

Soit (n-1)!

Ce qui ferait une proba de (n-1)!/n!=1/n

Pourquoi ca va pas ?

par **Patastronch** » 30 Déc 2008, 18:07

Ok j'ai compris.

Pas la peine de me répondre :D

par **Clembou** » 30 Déc 2008, 18:09

La question c'est bien : "quelle est la probabilité que chaque personne repart avec un chapeau différent du sien ?". Prends

et tu m'expliqueras pourquoi la personne à toutes les chances de prendre un chapeau différent du sien ??? :lol:

par **Patastronch** » 30 Déc 2008, 18:22

Ah oui argument simple mais efficace.

Mais ca aurait pas expliqué pourquoi pour n>1 puisque ca joue sur le cas limite du 0! ton argument.

Mais c 'est bon j'ai compris.

Sinon c'est bordélique a calculer, je me retrouve avec un produit de somme assez imbouffable ...

par **farator** » 30 Déc 2008, 19:08

Si on considère les n personnes A, B, C, D ... aux chapeaux a, b, c, d ... Elles passent dans cet ordre.

Le nombres de permutations est n!
Il y a forcément 1/n des n! qui commencent par a, et donc à éliminer.
Il y a aussi 1/n des n! qui ont b en seconde position. On les élimine. Mais parmi celles à éliminer, il y en a 1/(n-1) parmi celles qu'on a éliminé de a.
Pour c, il y en aura aussi 1/(n-1) parmi celles éliminées de a, mais combien parmi celles éliminées de b ?

Trop casse-tête :triste:

par **lapras** » 30 Déc 2008, 20:06

Bonjour, apres calculs :
Le nombre de permutations de {1,...,n} telles qu'il n'existe pas i tel que s(i)=i est :

par **Zweig** » 30 Déc 2008, 21:22

Non lapras, c'est

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