Hexagramme mystique de Pascal

[acoustica]

Hello,
Bon allez, ça manque de géométrie ici: voici un problème assez connu, et plutôt sympa: l'hexagramme de Pascal:

Montrer que les points de concours des côtés opposés d'un hexagone inscrit dans un cercle sont alignés.

(Notations: hexagone ABCDEF, (AB);)(ED)=O, (BC);)(FE)=N et (AF);)(CD)=M).

[Timothé Lefebvre]

(Notations: hexagone ABCDEF, (AB);)(ED)=M, (BC);)(FE)=N et (AF);)(CD)=O).

Bonjour, ne te serais-tu pas trompé(e) dans ces notations ?

[acoustica]

Oui; ça y est: j'ai corrigé l'énoncé.

[Timothé Lefebvre]

Ok merci :we:

[lapras]

Jolie !
je crois, apres nombreux calculs avoir une solution.
Soient :
I = (AF);)(ED)
J = (AF);)(BC)
K = (BC);)(ED)
Il faut ensuite établir quelques relations algébriques avec ménélaus.
Puis calculer la puissance de I,Jet K par rapport au cercle.
En mélangeant les relations on arrive bien à :

(ce sont des grandeurs algébriques, mais je ne sais pas faire la barre en laTex)
:happy2:

[acoustica]

bravo lapras! :we:
Il parait que ce résultat est vrai dans une conique. Le cas général doit être sacrément balèze. :briques:

[_-Gaara-_]

XD je n'ai pas compris ce qu'il s'est passé là :doh:

[lapras]

Quelle est la définition d'une conique ? :happy2:

[acoustica]

Quelle est la définition d'une conique ? :happy2:

Les coniques sont les ellipses (à forciori le cercle), les paraboles et les hyperboles. Un conique a une équation cartésienne de la forme: (X/a)²+/-(Y/b)²=1 (après, c'est des histoires de changement de repère qui font qu'avec l'hyperbole, on retombe sur une forme plus sympatique du type Y=k/X)

[acoustica]

XD je n'ai pas compris ce qu'il s'est passé là :doh:

Il faut utiliser le théorème de Ménélaüs dans IJK avec 3 alignements formés par les côtés de l'hexagone avec M, N et O ({F,E,N}, {O,A,B} et {C,D,M})
De là, tu as trois égalités, avec des écritures algébriques.
Tu multiplie membre à membre et tu réarranges de telle sorte à obtenir des termes du type puissance/puissance (puissance d'un point par rapport à un cercle). Ca se simplifie donc et on tombe sur une autre égalité de Ménélaüs, qui est celle que l'on cherchait.

[Zweig]

bravo lapras! :we:
Il parait que ce résultat est vrai dans une conique. Le cas général doit être sacrément balèze. :briques:

Le résultat est immédiat pour l'ellipse : on passe d'un cercle à une ellipse par une transformation affine. Une transformation affine a la propriété de conserver les alignements, d'où le résultat.

C'est aussi direct pour une conique quelconque puisque la propriété est projective et que l'on passe d'un cercle à une conique quelconque par homologie.

[_-Gaara-_]

Il faut utiliser le théorème de Ménélaüs dans IJK avec 3 alignements formés par les côtés de l'hexagone avec M, N et O.
De là, tu as trois égalités, avec des écritures algébriques.
Tu multiplie membre à membre et tu réarrange de telle sorte à obtenir des termes du type puissance/puissance (puissance d'un point par rapport à un cercle). Ca se simplifie donc et on tombe sur une autre égalité de Ménélaüs, qui est celle que l'on cherchait.

Ah merci ^^ je commençais à me sentir seul :id:

j'étudie ça en détail merci

[acoustica]

C'est aussi direct pour une conique quelconque puisque la propriété est projective et que l'on passe d'un cercle à une conique quelconque par homologie.

Qu'est-ce-que tu appelles une homologie?

[Zweig]

L'homologie est une transformation du plan : http://fr.wikipedia.org/wiki/Homologie_%28transformation_g%C3%A9om%C3%A9trique%29

Pour généraliser l'hexagramme mystique de Pascal à une conique quelconque, on peut aussi utiliser les barycentres.

[acoustica]

Bon, déjà on est d'accord pour l'ellipse (ça pose pas trop de problème).
Par contre, je ne comprend pas l'article de wikipedia: faudrait déjà que je sache ce qu'est une matrice. :triste:
Tu peut m'expliquer aussi le coup des barycentres?

[Benjamin]

ce sont des grandeurs algébriques, mais je ne sais pas faire la barre en laTex

Bonjour,
Tout simplement avec \bar{}

[leon1789]

Hello,
Bon allez, ça manque de géométrie ici: voici un problème assez connu, et plutôt sympa: l'hexagramme de Pascal:

Montrer que les points de concours des côtés opposés d'un hexagone inscrit dans un cercle sont alignés.

(Notations: hexagone ABCDEF, (AB);)(ED)=O, (BC);)(FE)=N et (AF);)(CD)=M).

La propriété générale est la suivante :

Soit 6 points quelconques du plan : A,B,...F, puis on trace les 6 droites comme indiqué , et enfin les 3 points M,N,O.
Les 6 points A,B,..F appartiennent à une même conique (pouvant être dégénérée en deux droites) les 3 points M,N,O appartiennent à une même droite

[leon1789]

La propriété générale est la suivante :

Soit 6 points quelconques du plan : A,B,...F, puis on trace les 6 droites comme indiqué , et enfin les 3 points M,N,O.
Les 6 points A,B,..F appartiennent à une même conique (pouvant être dégénérée en deux droites) les 3 points M,N,O appartiennent à une même droite

Je démontre ça en calculant deux déterminants : pour une matrice 6x6 assez creuse, et pour une matrice 3x3. Les deux déterminants sont égaux, ce qui montre l'équivalence.

[Zweig]

Ou bien en utilisant le théorème de Carnot.

[acoustica]

Ou bien en utilisant le théorème de Carnot.

lol j'ai tout un poly sur Ménélaüs, Carnot...je vois ça quand je serais sur mon ordi.