En haut de Teide

par **LeJeu** » 29 Aoû 2012, 20:01

Voici une petite énigme, suite directe de "Enigme tour de la terre " postée par dundee

Nous sommes en 1799, Von Humboldt Alexander s'arrête à Ténériffe il mesure (par triangulation) la hauteur du volcan Teide, et se pose la question :
"Peut on voir la cote d'afrique du sommet du volcan ?" ou plus exactement : "Quelle doit être la hauteur d'un sommet de la cote africaine pour qu'il soit visible ?"

Humboldt prend comme angle au centre de la terre entre le volcan et la cote africaine la valeur de 2°49'

From wiki :
Ténérife, aussi appelée Ténériffe, en espagnol Tenerife, est une île d'Espagne faisant partie des îles Canaries, dans l'océan Atlantique. Il s'agit de la plus grande île de cet archipel mais aussi la plus haute, le Teide constituant de plus le point culminant de l'Espagne avec 3 718 mètres d'altitude.

On ne prendra pas en compte la facteur réfraction

par **Dlzlogic** » 30 Aoû 2012, 11:13

Bonjour Le_Jeu,
Cette nuit, j'ai eu un petit remord, je vais faire le calcul.
Hier soir, j'avais un motif d'être probalo-statistiquement un peu agacé, et dans ces cas là, j'ai un peu de mal à dominer mon mauvais-esprit naturel.
Je vais lire le discours de Delambre.
En fait, si on veut calculer ça pour une observation réelle, il faudra prendre des précautions, la réfraction varie légèrement d'une heure à l'autre de la journée, suivant les saisons, etc.
Ces observations à longue distance se font généralement la nuit, l'atmosphère est plus stable.
Mais j'aimerais bien ne pas être le seul (avec Le_Jeu) à calculer ça.

:lol3: Un peu plus tard, je trouve 730 m.

par **chan79** » 30 Aoû 2012, 13:14

Dlzlogic a écrit:Bonjour Le_Jeu,
Cette nuit, j'ai eu un petit remord, je vais faire le calcul.
Hier soir, j'avais un motif d'être probalo-statistiquement un peu agacé, et dans ces cas là, j'ai un peu de mal à dominer mon mauvais-esprit naturel.
Je vais lire le discours de Delambre.
En fait, si on veut calculer ça pour une observation réelle, il faudra prendre des précautions, la réfraction varie légèrement d'une heure à l'autre de la journée, suivant les saisons, etc.
Ces observations à longue distance se font généralement la nuit, l'atmosphère est plus stable.
Mais j'aimerais bien ne pas être le seul (avec Le_Jeu) à calculer ça.

:lol3: Un peu plus tard, je trouve 730 m.

Salut Dlzlogic
J'ai 717 m avec 6371 km pour le rayon de la terre
Je suis peut-être allé trop vite ...

par **Dlzlogic** » 30 Aoû 2012, 13:36

chan79 a écrit:Salut Dlzlogic
J'ai 717 m avec 6371 km pour le rayon de la terre
Je suis peut-être allé trop vite ...

Oh non, on est tout à fait d'accord, la seule soustraction que j'avais à faire, je me suis trompé de 1 Km, alors, je rectifie, je trouve 715 m.
Personne pour nous départager, il reste encore un doute de 2 mètres ? :we:

par **chan79** » 30 Aoû 2012, 13:58

Dlzlogic a écrit:Oh non, on est tout à fait d'accord, la seule soustraction que j'avais à faire, je me suis trompé de 1 Km, alors, je rectifie, je trouve 715 m.
Personne pour nous départager, il reste encore un doute de 2 mètres ? :we:

Sans doute une histoire d'arrondi
[img][IMG]http://img818.imageshack.us/img818/6416/azertyw.png[/img][/IMG]

=(2+49/60)-arccos(6371/6374,718) en réglant la calculette en degrés
on trouve 0,8597 degrés
on divise ensuite 6371 par le cosinus de langle trouvé ci-dessus et on enlève 6371

par **Dlzlogic** » 30 Aoû 2012, 14:18

Tant qu'on y est, voilà mon calcul.
Dans le triangle contenant le volcan, D² +R² = R² + 2Rh + h²
D² = h(h + 2R)
j'ai pris R = 6366.2 km
D= 217.3 km
La distance des deux sommets = 40000 x 2.817 / 360 = 313.0 km
D'où la distance entre le point visible sur la côte africaine et le niveau affleurant de la mer = 95.4 km. On remarquera qu'il s'agit de distance terrestre, c'est à dire la longueur de l'arc de grand cercle correspondant à l'angle de 2°46'.
Dans ce même triangle, D² + R² = R² + 2Rh + h²
H = D²/2R = 715 mètres.
Mais, comme je n'ai pas utilisé de fonction trigonométrique, c'est un peu normal.
Je ne sais pas si Humbold avait une calculette sur lui, ou même une table de log ?

Correction, il s'agit de 2°49' et non de 2°46', faute de frappe et non de calcul.
Vois calcul d'erreur 3 messages plus loin, la valeur cherchée est comprise entre 700 et 730 m.

par **chan79** » 30 Aoû 2012, 15:16

Dlzlogic a écrit:Tant qu'on y est, voilà mon calcul.
Dans le triangle contenant le volcan, D² +R² = R² + 2Rh + h²
D² = h(h + 2R)
j'ai pris R = 6366.2 km
D= 217.3 km
La distance des deux sommets = 40000 x 2.817 / 360 = 313.0 km
D'où la distance entre le point visible sur la côte africaine et le niveau affleurant de la mer = 95.4 km. On remarquera qu'il s'agit de distance terrestre, c'est à dire la longueur de l'arc de grand cercle correspondant à l'angle de 2°46'.
Dans ce même triangle, D² + R² = R² + 2Rh + h²
H = D²/2R = 715 mètres.
Mais, comme je n'ai pas utilisé de fonction trigonométrique, c'est un peu normal.
Je ne sais pas si Humbold avait une calculette sur lui, ou même une table de log ?

P'têt que tu as pris 2°46' au lieu de 2°49' ?

par **Black Jack** » 30 Aoû 2012, 15:24

Il s'agit des côtes Africaines ... elles sont alors au ras de l'Océan et donc à altitude 0 m.

d1 = 6374,718 * sin((2 + 49/60)°) = 313 km
Les côtes A (à altitude 0) sont à 313 km (à vol d'oiseau) du haut du volcan.

Distance vue à l'horizon du haut du volcan : d1 = V(6374,718² - 6371²) = 218 km

Et donc les cotes africaines ne sont pas vues du haut du volcan.

:zen:

par **chan79** » 30 Aoû 2012, 15:27

Black Jack a écrit:Il s'agit des côtes Africaines ... elles sont alors au ras de l'Océan et donc à altitude 0 m.

d1 = 6374,718 * sin((2 + 49/60)°) = 313 km
Les côtes A (à altitude 0) sont à 313 km (à vol d'oiseau) du haut du volcan.

Distance vue à l'horizon du haut du volcan : d1 = V(6374,718² - 6371²) = 218 km

Et donc les cotes africaines ne sont pas vues du haut du volcan.

:zen:

Disons que c'est une très falaise ... :zen:

par **Dlzlogic** » 30 Aoû 2012, 15:32

chan79 a écrit:P'têt que tu as pris 2°46' au lieu de 2°49' ?

Ben, non, 2°49' ça fait bien 2.817 degrés, non ?
Par ailleurs, je ne conteste en aucun cas 717 mètres.
J'avoue que j'ai la flemme de faire un calcul d'erreur.

Calcul d'erreur rapide
L'angle de 2°49' est une valeur approximative de la valeur comprise entre 2°48'30" et 2°49'30"
Ce qui fait que la hauteur de la falaise doit être comprise entre 700 et 730 m. au moins, pour être vue. (sauf faute de calcul).

par **chan79** » 30 Aoû 2012, 15:36

Dlzlogic a écrit:correspondant à l'angle de 2°46'.

tu avais marqué 2°46' c'est pour ça ...
c'est pas grave

par **chan79** » 30 Aoû 2012, 15:43

chan79 a écrit:tu avais marqué 2°46' c'est pour ça ...
c'est pas grave

en arrondissant les angles au millième et en prenant 6366.2 pour le rayon, je trouve aussi 715 m (falaise qui fait un peu plus de deux fois la tour Eiffel ) :ptdr:

par **Dlzlogic** » 30 Aoû 2012, 15:48

chan79 a écrit:en arrondissant les angles au millième et en prenant 6366.2 pour le rayon, je trouve aussi 715 m (falaise qui fait un peu plus de deux fois la tout Eiffel ) :ptdr:

Comme quoi, dans certains cas, on peut se passer de table de valeurs naturelles.
Et toi, Le_Jeu, tu as fait comment ?

par **Black Jack** » 30 Aoû 2012, 17:22

6371 = 6374,718.cos(DOV)
angle DOV = 1,958912°

angle DOS = (2 + 49/60) - 1,958912 = 0,860754648691 °

OD = OS.cos(0,860754648691°)
6371 = OS.cos(0,860754648691°)
OS = 6371,719 km

x = 0,719 km = 719 m (hauteur de la falaise ...)

:zen:

par **LeJeu** » 31 Aoû 2012, 07:06

Black Jack a écrit:
x = 0,719 km = 719 m (hauteur de la falaise ...)

[chan79] :Avec le dessin c'est parrfait !

[Black Jack]C'était bien le sens de la question , et nous sommes d'accord la falaise calculée n'existe pas de coté africain ...

[Dlzlogic] Tu peux y aller franchement avec la trigo ! en 1800 c'était déjà inventée :-)

et évidemment les tables qui vont avec !

par **Black Jack** » 31 Aoû 2012, 09:55

LeJeu a écrit:[chan79] :Avec le dessin c'est parrfait !

[Black Jack]C'était bien le sens de la question , et nous sommes d'accord la falaise calculée n'existe pas de coté africain ...

[Dlzlogic] Tu peux y aller franchement avec la trigo ! en 1800 c'était déjà inventée et évidemment les tables qui vont avec !

Oui, j'ai commencé par répondre à la première formulation de la question, qui était : "Peut on voir la cote d'afrique du sommet du volcan ?"

Ce n'est pas un passage obligé, mais simplifie les calculs ... après réponse négative, pour répondre à : "Quelle doit être la hauteur d'un sommet de la cote africaine pour qu'il soit visible ?"

:zen:

par **Dlzlogic** » 31 Aoû 2012, 10:11

LeJeu a écrit:
[Dlzlogic] Tu peux y aller franchement avec la trigo ! en 1800 c'était déjà inventée et évidemment les tables qui vont avec !

Oui, bien sûr, mais comme disaient mes professeurs, il ne faut pas prendre un canon pour tuer une mouche.

Concernant le problème posé, c'est à dire la possibilité de voir la côte africaine à partir du sommet du volcan, étant donné la réfraction, Humboldt n'a eu aucun mal à la voir, même au niveau de l'eau.
Lorsque les problèmes se rattachent à les phénomènes réels, il vaut mieux les étudier dans leur totalité, quitte à dépasser quelques notions mathématique, c'est comme l'évaluation de la précision de l'aire d'un disque. :zen:

par **Black Jack** » 31 Aoû 2012, 10:32

Dlzlogic a écrit:Oui, bien sûr, mais comme disaient mes professeurs, il ne faut pas prendre un canon pour tuer une mouche.

Concernant le problème posé, c'est à dire la possibilité de voir la côte africaine à partir du sommet du volcan, étant donné la réfraction, Humboldt n'a eu aucun mal à la voir, même au niveau de l'eau.
Lorsque les problèmes se rattachent à les phénomènes réels, il vaut mieux les étudier dans leur totalité, quitte à dépasser quelques notions mathématique, c'est comme l'évaluation de la précision de l'aire d'un disque. :zen:

Faut pas non plus faire de l'overdesign à tous les coups.

La question est "peut-on voir la côte africaine ?" et pas "Serait-il possible d'apercevoir un mirage de la côte africaine ?"

Il ne me semble pas que l'emploi de la trigonométrie de base constitue vraiment un canon ... même si on utilise une calculette au lieu d'un table pour trouver le sinus ou le cosinus d'un angle donné.

Non ?

:zen:

par **chan79** » 31 Aoû 2012, 10:32

Dlzlogic a écrit:Oui, bien sûr, mais comme disaient mes professeurs, il ne faut pas prendre un canon pour tuer une mouche.

Concernant le problème posé, c'est à dire la possibilité de voir la côte africaine à partir du sommet du volcan, étant donné la réfraction, Humboldt n'a eu aucun mal à la voir, même au niveau de l'eau.
Lorsque les problèmes se rattachent à les phénomènes réels, il vaut mieux les étudier dans leur totalité, quitte à dépasser quelques notions mathématique, c'est comme l'évaluation de la précision de l'aire d'un disque. :zen:

y'a pas que les maths dans la vie; il faut parfaire ses connaissances en géographie
:ptdr:
ci-dessous une image de la plus haute falaise du monde à Hawaï (plus de 1000 mètres)
[img][IMG]http://img52.imageshack.us/img52/9384/cliffsatnearbyslieve1.png[/img][/IMG]

par **Black Jack** » 31 Aoû 2012, 10:35

chan79 a écrit:y'a pas que les maths dans la vie; il faut parfaire ses connaissances en géographie
:ptdr:
ci-dessous une image de la plus haute falaise du monde à Hawaï (plus de 1000 mètres)[img][IMG]http://img52.imageshack.us/img52/9384/cliffsatnearbyslieve1.png[/img][/IMG]

A marée haute ou à marée basse ? :ptdr:

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