Un groupe revisité

[ComeDuRondeau]

Salut à tous,

Je suis tombé sur un structure de groupe amusante qu'on peut munir sur le groupe multiplicatif de corps finis alors je fais partager.

On considère une puissance impaire d'un nombre premier, et les corps à et éléments. On pose la conjugaison de , i.e. l'élément non trivial de (on a , le Frobenius). On pose aussi le morphisme de groupe tel que si et seulement si est un carré dans (il s'agit du symbole de Legendre qu'on a rendu additif). On pose pour tout élément (on conjugue si n'est pas un carré). Cette loi de composition interne munit d'une nouvelle structure de groupe.

Montrer que est un sous-groupe distingué de et que le groupe diédral à éléments.

Si jamais vous arrivez à déterminer la structure de je suis preneur mais je ne la connais pas. Je pense avoir réussi à montrer que le groupe des quaternions mais je n'en sais pas plus !

[Ben314]

Salut,
est isomorphe à où et, via l'isomorphisme, la loi s'écrit où ( est pair) donc c'est le sous-groupe formé des couples d'un produit semi-direct (1).
et est le sous groupe engendré par donc . (2)
Ensuite, c'est le sous groupe engendré par et c'est le centre de (donc évidement distingué) et on a qui est le groupe diédral d'ordre .

(1) Et on peut éventuellement faire la même construction pour n'importe quel entier impair avec les mêmes résultats.
(2) Pour , ça donne et c'est bien le groupe des quaternions.
Pour , ça donne

[ComeDuRondeau]

Chouette, c'est rapide ! Bravo !

(1) Et on peut éventuellement faire la même construction pour n'importe quel entier impair avec les mêmes résultats.

Qu'est-ce que tu veux dire par là ? Si on remplace par on aura dans donc on aura la loi de groupe usuelle. Ou alors je n'ai pas compris ce que tu voulais dire ?

Personnellement j'ai un peu de mal avec les descriptions des groupes par présentations, ça demande quand même un peu de boulot de justifier que les relations que tu imposes à tes générateurs sont suffisantes, non ?

Pour le cas général je suis tombé sur des groupes que je ne connaissais pas avant ; les groupes dicyliques. ça marche pour décrire mais je ne pense pas que ça marche pour les suivants . Les relations ne sont pas les mêmes.

[Ben314]

Dans ta prose d'origine, tu part de ce qui n'a du sens que si et la puissance d'un nombre premier. Et ce que je dit, c'est qu'on peut faire la même chose pour tout entier impair et pas uniquement pour les puissances de nombre premier. Par exemple ta construction "de base" n'a pas de sens pour vu que n'existe pas, mais ça n'empèche absolument pas de faire le produit semi direct dont je parle ni de définir les sous groupes correspondant à ceux qui t'intéressent.

Sinon, il me semble que ce que j'ai écrit suffit comme justification sauf concernant le fait que est bien le centre de (il est trivialement contenu dans le centre, mais il faut vérifier qu'il n'y a personne d'autre).
Et, s'il fallait faire des calculs, ça serait facile vu que tout élément de s'écrit de façon unique avec et . Et les groupes avec ce type de présentation ont forcément un "petit nom" (que je ne connais évidement pas) vu tout ce qui à été étudié sur les groupes.

Sur ton dernier paragraphe, c'est quoi que tu appelle "les suivants" ?

[ComeDuRondeau]

Dans ta prose d'origine, tu part travaille dans ce qui n'a du sens que si et la puissance d'un nombre premier. Et ce que je dit, c'est qu'on peut faire la même chose pour tout entier impair et pas uniquement pour les puissances de nombre premier.

Ahhh ok, j'avais mal compris ce que tu voulais dire !

Sinon, il me semble que ce que j'ai écrit suffit comme justification sauf concernant le fait que est bien le centre de (il est trivialement contenu dans le centre, mais il faut vérifier qu'il n'y a personne d'autre).

D'accord, oui ! J'ai fait les choses à l'envers par rapport à toi. J'ai commencé par montrer que le sous-groupe des carrés de est un sous-groupe distingué et que est le centre donc distingué dans enfin pour tout on a (avec la classe de dans le quotient). Il manque beaucoup de détails mais c'est l'idée ^-^.