Groupe commutatif ?

[Ben314]

Hello.
Soit un groupe tel que soit un automorphisme de .
Montrer que est abélien.

(niveau requis : la connaissance de ce qu'est un groupe et un morphisme de groupe et... un peu d'astuce...)

[magicarpe]

Alors, l'élément neutre y est et c'est 1.... Je pense....
Après je sèche, j'ai un peu de mal avec la notion de morphisme de groupe.... J'espère que des gens répondront à ce défi... x)

[ffback]

Désolé de pourrir tous tes topics Ben

superieur/groupes-abeliens-t77210.html

[Imod]

Bonjour

J'avais déjà fourni le lien à Ben

Même si ffpower a fait un gros travail , il reste sur le fil quelques questions ouvertes qui ne sont pas faciles !!!

Imod

[Ben314]

Bonjour
J'avais déjà fourni le lien à Ben

Zut... j'ai du le rater...

De façon générale, d'ailleurs, si on veut que je percute, une sage précaution, c'est de me dire les trucs au moins deux fois (voire trois...)

Je regarde si j'arrive à avancer sur l'ancien topic...

[ffback]

Je ne suis pas sûr qu'il reste beaucoup á faire de non résolu. Cependant, même si résolus, les exercices posés lá sont bien intéressants.

Un résumé des propriétés intéressantes: soit un groupe quelconque et et deux entiers. Il est pratique de noter aussi et pour les points 2) et 3). On a:

1)Si , et si pour tous dans , et , alors est commutatif. Si , il y a des contrexemples.


2)Si , et si et sont des morphismes de , alors est commutatif. Si , il y a des contrexemples.

3)La généralisation naturelle de la question du topic "si est un automorphisme de alors est commutatif" est fausse pour et (contrexemple?). En revanche:
Si est un morphisme de et si l'application est injective ou surjective, alors est commutatif. (A noter que pour , , et pour , )


Je ne vois pas d'autres questions á traiter, mais si vous en avez, je suis preneur

[MMu]

Il me semble que la question posée initialement par Ben n'est toujours pas résolue

[Imod]

Il me semble que la question posée initialement par Ben n'est toujours pas résolue

Mais si

Je n'avais pas relu le sujet depuis très longtemps et il me semble qu'on y combine trois critères :

: les puissances m commutent .
: est un morphisme .
: est injectif ou surjectif .

Il serait amusant de caractériser les couples (m,n) qui assurent que les groupes sont abéliens .

On a déjà pas mal de critères , les a-t-on vraiment tous ?

La recherche de contre-exemples est certainement la partie la plus délicate .

Imod

[ffback]

Ah oui je vois . Eventuellement on peut meme séparer les C en deux. Par exemple, exo:
Si est injectif et est surjectif et est un morphisme, alors le groupe est commutatif

Sinon, pour fabriquer batterie de contrexemples, le lenme suivant est tres pratique:

(Si k est un entier >2, alors il existe des groupes G non commutatifs tels que pour tout x, de G,x^k=e)