Grenouilles

par **Anonyme** » 19 Juin 2009, 11:07

Bonjour,

Voici un énigme qui me résiste:

Au début trois grenouilles (assimilées a des point et ayant l'éternité devant elles) sont respectivement situes aux sommets A, C et D d'un carre ABCD. Toutes les minutes une des grenouilles (n'importe laquelle) saute au dessus d'une autre pour atteindre le point symétrique du départ de son saut par rapport au point occupe par celle au dessus de qui elle saute.

Peut-il se faire qu'une des grenouilles se trouve a un moment au sommet B ?

par **Timothé Lefebvre** » 19 Juin 2009, 11:27

Salut,

ça sent les invariants et symétries non ?

par **Anonyme** » 19 Juin 2009, 11:44

J'ai pas réussi a la résoudre donc je ne sais pas si ce que tu dit va amener a la solution. Ce problème est tire du premier DS de seconde donc je crois qu'il peut être résolu avec les notions de 3eme.

PS: En fait je crois que c'est toi qui m'a passe l'exercise non ?

par **Timothé Lefebvre** » 19 Juin 2009, 12:33

Ben oui ça me rappelle quelque chose mais je ne sais plus où je l'ai fait en fait :/
J'essaye de retrouver.

par **Imod** » 19 Juin 2009, 15:27

Bonsoir

Il suffit de considérer les grenouilles sont posées sur un quadrillage infini colorié de la façon suivante :

RVRVRVRV...
JBJBJBJBJB...
RVRVRVRV...
JBJBJBJBJB...

Le carré de départ :

RV
JB

Maintenant il est clair qu'une grenouille saute sur une case d'arrivée de la couleur de celle de départ et que la 4ème couleur ( celle du point B ) ne sera jamais atteinte .

Imod

par **Anonyme** » 19 Juin 2009, 16:23

J'essaye de trouver un contre exemple

cela semble intuitif mais comment peut on demontrer que chaque grenouille reste malgres tous les deplacements sur une case de meme couleur que la case initiale ?

par **Imod** » 19 Juin 2009, 16:48

Fais une symétrie centrale par rapport à la case au milieu du saut . Comme le quadrillage est symétrique par rapport à n'importe quelle case , tu as ta réponse :zen:

Imod

par **nodjim** » 20 Juin 2009, 14:53

En déclarant les (x,y) du réseau modulo 2, ça se passe très bien il me semble.
Par exemple, si on a choisi les 3 points en coordonnées (0,0)(0,1)(1,1), par déplacement de n'importe lequel d'entr'eux, on ne peut pas créer un (1,0).

par **Timothé Lefebvre** » 21 Juin 2009, 18:39

Salut,

bon je m'y suis remis rapidement et je crois que j'avais utilisé les translations. On peut dire que le déplacement d'une grenouille est une translation de vecteur

telle que

et

soient des entiers relatifs.

Qu'en pensez-vous ?

par **Imod** » 21 Juin 2009, 21:15

Oui , en fait tout ça nous ramène à des histoires de parité , on le peut voir avec des coloriages , des modulos ou des maillages via les vecteurs c'est affaire de goût :zen:

Imod

par **Timothé Lefebvre** » 21 Juin 2009, 21:17

J'ai été traumatisé par les vecteurs c'est pour ça que maintenant j'en vois partout :lol:
Bon sur ce je vais me pieuter, bonne nuit tout le monde :salut:

par **Anonyme** » 22 Juin 2009, 07:28

Timothé Lefebvre a écrit:Salut,

bon je m'y suis remis rapidement et je crois que j'avais utilisé les translations. On peut dire que le déplacement d'une grenouille est une translation de vecteur telle que et soient des entiers relatifs.

Qu'en pensez-vous ?

J'ai pas compris ta solution.
Pourrais-tu m'expliquer un peu ?
Comment ce raisonnememt mene - t-il a la conclusion recherche ?

par **Timothé Lefebvre** » 22 Juin 2009, 07:47

Ben on peut conclure car pour arriver à B on se déplace d'une fois un de ces vecteurs , et ce pour chacune des grenouilles.

Sinon, plus simplement mais moins rapidement on utilise la symétrie centrale comme je le disais dans mon premier post.

par **Anonyme** » 22 Juin 2009, 08:03

J'ai toujours pas compris ton raisonnement .
C'est pas grave

par **Timothé Lefebvre** » 22 Juin 2009, 08:17

Ok. La seconde méthode que j'évoquais : on va appeler

la grenouille voltigeuse et

la grenouille par dessus laquelle

a sauté (ok je sais c'est pas très inventif !).
Pour qu'une grenouille soit sur

il faut que

,

et

soient alignés ok ? C'est la symétrie centrale, fais un schéma pour t'aider.

Maintenant, on dit que

est positionnée sur A, alors

doit être sur (AB) tu comprends ?
Or il n'y a que trois grenouilles, on en déduit que la dernière grenouille (la D) ne pourra jamais venir sur (AB). Comme il n'y a personne sur (AB) il faut qu'une grenouille y vienne. On suppose donc que c'est possible.

Si une grenouille arrivait sur (AB) on aurait alors : la grenouille de départ, A et B alignés juste avant le saut ; le point d'arrivée, A et B seront aussi alignés ; et enfin le point de départ, A, B et le point d'arrivée alignés : là tu vois que c'est absurde d'après le cas étudié.

Conclusion : "Peut-il se faire qu'une des grenouilles se trouve à un moment au sommet B ?" Non

par **Anonyme** » 22 Juin 2009, 08:29

C'est beaucoup plus clair merci

et en calcul vectoriel ca donne quoi ?

par **Timothé Lefebvre** » 22 Juin 2009, 08:33

cf. message #9.

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