Un grand cube

[alice02]

Un grand cube 2011 x 2011 x 2011 est composé de
8 132 727 331 petits cubes identiques.
Un plan perpendiculaire à une diagonale du cube passe par son
centre.
Combien de petits cubes coupe-t-il ?

[pascal16]

le plan passerait part de deux angles opposés et par le milieu de deux arêtes, ça serait plus marrant

[aviateur]

Bonjour
La réponse est: 9099271
Pour la trouver, on remarque qu'un petit cube est traversé par le plan ssi sa diagonale parallèle à la diagonale principale du cube (celle perpendiculaire au plan) a un point commun avec le plan.
Le cube étant placé dans un repère Oxyz de façon qu'un sommet de la diagonale principale soit O et l'autre le point A=(n,n,n), n= 2011 alors un petit cube est associé au triplet
qui correspond aux coordonnées de l'extrémité "supérieure" de sa diagonale principale.
Il reste à dénombrer les cubes traversés par le plan. Leur nombre correspond alors aux éléments
tel que x+y+z=w+1, w+2 ou w+3 où j'ai posé w=E(3*n/2).
On trouve alors que leur nombre est : Nbre=n (3 + 6 w)-(+2+ 3 w + 3 w^2)

Ici n=2011, w=3016 et donc Nbre=9099271

[alice02]

Thanks Aviateur, but I don't understand how exactly you determine the cubes interseceted...
Can you explain in a more simple way??
Thanks
(And what is ?
And where come from the formula
Nbre=n (3 + 6 w)-(+2+ 3 w + 3 w^2) ?)

[aviateur]

Bonjour
L'équation du plan P est: . Ici n=2011 et w=E(3*n/2)=3*n/2-1/2
Donc la diagonale principale d'un petit cube à pour sommets et

est en dessous de P si f(x,y,z)<0 , ce qui est équivalent à ou encore

De façon analogue
est au dessus de P si , ce qui est équivalent à x+y+z>3*n/2+3
ou encore

On en déduit qu'un cube traverse le plan ssi
Il ne reste plus qu'à les compter.

[aviateur]

Rebonjour
E (x) means Floor(x)

And where come from the formula
Nbre=n (3 + 6 w)-(+2+ 3 w + 3 w^2) ?)

The formula comes after some simplifications:
You have to count the number of triplets
satisfying
Then

[Ben314]

Salut,
Je sais pas comment tu as fait pour tes calculs (i.e. ce qu'il y a de contenu dans ton "après simplification"),
Mais en fait il est assez facile de voir que la coupe du grand cube par le plan se présente sous la forme suivante :

Capture.png (22.61 Kio) Vu 367 fois

(ici avec n=5 et pas 2011, mais c'est la même chose pour tout n impair)
La trace des petits cubes donne soit des hexagone régulier (ça correspond à ton x+y+z=+1), soit des triangle équilatéraux (ça correspond à ton x+y+z= ou +2)
Ensuite, je pense qu'il y a moyen de calculer super simplement le nombre de triangle et d'hexagone uniquement en partant du nombre d'intersection entre segments bleu (qui sont des sommets communs à 2 hexagones et 2 triangles) et du nombre d'intersection entre segment bleu et segment rouge (pour dénombrer les triangles/hexagones "au bord")
C'est comme ça que tu as fait ?

[aviateur]

Oui @ben on devrait en retrouver 55 avec ton dessin. Il y a 36 triangles? mais je n'ai pas compté les hexagones.
avec n=3 on trouve 19. Je ne sais pas comment tu obtiens la figure mais avec 3 cela serait intéressant de vérifier.
Je vais revérifier mes calculs pour voir si jene me suis pas trompé.

[Ben314]

Le dessin, je l'ai fait "les doigts dans le nez" vu que je sais "par cœur" que quand on coupe un cube "en biais" par le milieu, ça fait un hexagone régulier (la première fois qu'on s'en rend compte, ça parait un peu surprenant...) et il est clair dés qu'on écrit que l'équation du plan est x+y+z=3n/2 (avec n impair) que le plan va couper les arrêtes des petits cubes en leur milieu donc que la coupe sera soit un hexagone (si le plan passe par le milieu du cube) soit un triangle équilatéral si les arrêtes coupées (en leur milieu) sont 3 arrêtes concourantes.

Sinon (et sauf erreur), si n=2m-1 (impair) alors
- Des hexagones, il y en a m+(m+1)+...+(2m-2)+(2m-1)+(2m-2)+...+(m+1)+m = 3m(m-1)+1
- Des triangles, il y en a le double moins 2, c'est à dire 6m(m-1)

[aviateur]

Rebonjour
D'accord nos deux résultats coïncident mais la façon d'y arriver diffère
J'ai procédé comme cela
1. calcul du nombre de (x,y,z) tel que x+y+z=a (avec a=w+j,j=1,2,ou 3) en remarquant que ()

Cela correspond à la somme du nb de couples (x,y) tel que x+y=a-z, pour z=1 à n

ou encore à n^2 moins le nombre de couples (x,y) vérifiant
a) x+y<=a-n-1 ou b) x+y>=a.

Le calcul du nombre de (x,y) vérifiant a) est aisé et celui de
b) s'en déduit par symétrie.

C'est à dire qu'au lieu de sommer sur l'hexagone, je somme sur la partie complémentaire qui est une réunion de 2 triangles.

En simplifiant on obtient ce que j'ai donné et en simplifiant encore (parce que w=3*n/2-1/2 ) cela donne Nbre=

[chan79]

salut
Il s'agit de l'exo 17 donné en 2011 (évidemment) en finale du 25° championnat de jeux mathématiques.
On trouvera une solution ici: http://homepage.hispeed.ch/FSJM/documents/25_FI2011jour1_reponses.pdf

On peut utiliser la force brute pour vérifier (mais ça ne donne pas une formule générale, bien-sûr)

cub2.gif (4.42 Kio) Vu 319 fois

[alice02]

Thankssss guys!