Géométrie et proportions

[Thiéfaine]

Bonjour,

[Thiéfaine]

Voici mon dessin:



j'ai remarqué les angle et les proportions d'aire des triangles.
J'ai donc un quotient (au dessus de la représentation).

Une idée pour la suite ?

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Je ne comprends pas trop ce que représente le quotient que tu as écrit. Peux-tu expliquer ?
Tu as vu correctement l'aire des triangles PQB, QCF et APE.
Tu peux comparer l'aire a de PQB et l'aire b/2 du triangle ACB.

PS. Ah, j'ai compris que tu appelles b l'aire du pentagone ! Ce n'est pas une bonne idée de travailler avec ce pentagone, c'est une figure compliquée. Dans ma réponse ci-dessus je pensais que tu appelais b l'aire du parallélogramme (d'où mon affirmation que l'aire du triangle ACB est b/2). Tu verras, c'est beaucoup plus facile de prendre le problème par ce bout-là.

[lyceen95]

On peut 'tricher'.
D'après la façon dont la question est posée, la réponse ne dépend de rien. Si on trouve la réponse pour le cas particulier du carré, alors la réponse sera bonne pour n'importe quel parallélogramme (je fais confiance à l'énoncé, c'est mon seul argument pour annoncer ça)
Si ABCD est un carré de côté 1, tu as remarqué que les triangles QCF et QBP se 'compensaient'. Et donc, quelle est la surface du triangle AEP .
Quelle est la longueur AE ?

[Thiéfaine]

Ok, quand je pose b = l'aire du parallélogramme j'ai donc le quotient:



Maintenant faut savoir si vaut ou

(vu les réponses possibles de l'énoncé)

[Thiéfaine]

J'ai trouvé.

Le triangle PBQ est semblable au triangle ADF.

PB correspond à DF.

Soit le côté supérieur du parallélogramme:




Un rapport de côté de
Et donc, un rapport d'aire de

Donc, soit l'aire du parallélogramme et celle des deux triangle égaux PBQ et QCF:

L'aire du triangle EDF
Ce qui donne

vaut donc

=> Réponse B

Vous voyez un autre moyen plus "simple"?

[Thiéfaine]

Quelle est la longueur AE ?

1/6 du côté du carré.
Grâce aux proportions des triangles ADF et QCF, on est d'accord ?

Et effectivement je trouve la même réponse

[GaBuZoMeu]

"Le triangle PBQ est semblable au triangle ADF."
Non. EDF, je veux bien.
On peut procéder ainsi : quel rapport entre PB et AB ? Entre l'aire de PQB et celle de AQB ?
Quel rapport entre QB zt CB ? Entre l'aire de AQB et celle de ACB ?

[Thiéfaine]

"Le triangle PBQ est semblable au triangle ADF."
Non. EDF, je veux bien.

Oui effectivement

On peut procéder ainsi : quel rapport entre PB et AB ? Entre l'aire de PQB et celle de AQB ?
Quel rapport entre QB zt CB ? Entre l'aire de AQB et celle de ACB ?

Ça m'a l'air bien compliqué tout ça.
PQB et AQB ? Ils ne sont pas semblables si ?
AQB et ACB ?
Je suis troublé.

[lyceen95]

PQB e AQB ne sont pas semblables, mais la transformation qui permet de passer de l'un à l'autre est simple. Et donc la formule qui donne est simple.
Et idem pour passer de l'aire de AQB à l'aire de ACB

Elle s'appelle comment, cette transformation?

[Thiéfaine]

Avec quoi, les aires a et b du parallélogramme et des triangles, ou les longueurs des côtés ?
Je ne vois pas comment.. éclaire moi

[GaBuZoMeu]

Faisons élémentaire : l'aire d'un triangle, c'est la moitié de base par hauteur.
Si l'on multiplie la base par k sans changer la hauteur, que devient l'aire ?
Dans les triangles PQB et AQB, prenons PB et AB comme bases ...
Vraiment compliqué, tout ça ?

[Thiéfaine]

Bien sûr. C'est nouveau pour moi ce genre d'exercices, les réflexes vont arriver..

En parlant d'aire:

ABQ
ACB

Avec ça:

Triangle EDF EAP + ADC + (ABC - PBQ) + QCF

Parallélogramme ABCD

Donc:

DEF / ABCD

Merci beaucoup pour votre aide sur chacun de mes problèmes