Géométrie / Calcul vectoriel

[mlam]

Bonjour,

Je bûche depuis quelques jours sur un problème, qui je pense pourrait être résolu de plusieurs manières.

Soit un triangle ABC isocèle en C.
Soit trois points D, E, F positionnés sur le segment [AB] tels que AD < AE < AF.
Les positions sont quelconques, mais connues.
Soit un point M positionné sur le segment [EC]. Là encore, position arbitraire, mais connue à l'avance.

Le problème est de placer les points L et N tels que :

• L est sur le segment [DC]
• N est sur le segment [FC]
• Le segment [LN] est coupé en son milieu par le point M. En d'autres termes, la droite (CM) est une médiane du triangle CLN qui coupe [LN] en M.

J'ai donc besoin, au choix :

• Des positions des points L et N
• De la longueur CL ou CN
• De l'angle CLM ou CML ou CMN ou CNM

.. n'importe laquelle de ces données permettant d'obtenir les autres.


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Voici les pistes que j'ai suivies:

• Utiliser Al-Kashi sur les triangles CLN, CLM et CMN. J'obtiens bien trois équations indépendantes pour trois inconnues : les longueurs CL, CN et LM ( = MN). Je n'arrive pas à résoudre simplement ce système, et j'espère donc pouvoir utiliser une autre méthode.
• Poser le problème en termes vectoriels. Je n'obtiens pas suffisamment d'équations par rapport au nombre d'inconnues.
• Déterminer les angles inconnus en me servant du fait que la somme des trois angles d'un triangle fait 180° et que LMC + CMN = 180] également. J'ai suffisamment d'équations par rapport au nombre d'inconnues, mais elles sont dépendantes, et je ne peux donc pas résoudre le système.
• Comme il y a une infinité de solutions (puisqu'on peut placer M n'importe où sur [EC]), et qu'elles ont toutes en commun les angles que je cherche à déterminer (toutes les droites (LN) sont parallèles), essayer de placer M tel que ça simplifie tous les calculs comme par magie !

Merci d'avance pour votre temps !

PS. J'avais préparé un schéma de mon problème, mais je ne sais pas comment le poster ...

[Ben314]

Salut,
Je sais pas sous quelle forme tu veut le résultat, mais en terme de "géométrie pure", i.e. de construction des points L et N à la règle et au compas, c'est assez évident : comme M doit être le milieu de [LN], c'est que N est le symétrique de L par la symétrie centrale de centre M et il est donc situé sur le segment [C'F'] où C' et F' sont les symétrique respectifs de C et M par cette même symétrie.
Le problème admet donc une (unique) solution ssi les segment [CD] et [C'F'] sont sécants.

[mlam]

Bonjour,

J'espérais une réponse du type "c'est assez évident", et je ne suis pas déçue !
Avec tes explications, calculer la position des points devient très simple.

Je trouve donc C' en appliquant deux fois le le vecteur CM à partir de C.
Idem pour F' avec le vecteur FM en partant de F.

Je trouve l'intersection L de [CD] et [C'F'].
Je trouve N en appliquant deux fois le vecteur LM à partir de L, et je constate (et vérifie) que N appartient bien à [CF].

Un jeu d'enfants quand on pense aux symétries, mot que je n'ai pas prononcé depuis dix ans.

Merci beaucoup ;)

PS. S'il faut déplacer cette discussion ailleurs, pas de soucis. Je ne savais pas à quel niveau scolaire elle s'appliquait.