Géodésique de l'ellipsoïde de révolution

[Andre47b]

Bonjour,
J'ai deux interrogations concernant les géodésiques d'un ellipsoïde de révolution :
- je considère deux points A et B sur un ellipsoïde de révolution, et je voudrais déterminer de manière approchée la géodésique reliant A à B.

Mon idée est de partir de A de viser dans une direction adéquate (c'est là que se situe mon interrogation : je ne sais pas dans quelle direction démarre la géodésique qui relie A à B) ; ensuite j'approxime la géodésique sur une petite portion par l'intersection de l'ellipsoïde avec le plan qui contient A, cette direction à déterminer et la normale à l'ellipsoïde (un arc d'ellipse) ; j'obtiens un point A' au bout de ce petit arc d'ellipse et je recommence le processus.

Donc comment "viser" ? Et ce processus converge-t-il bien vers la géodésique lorsque les bouts d'arcs d'ellipse deviennent infiniment petits ?

- y a t'il d'autres moyens efficaces de déterminer (calculer en pratique) cette géodésique ?

Merci par avance pour tout renseignement sur ces deux points.

[Ben314]

Salut,
Pour ce qui est de la convergence de la méthode que tu expose, c'est O.K. : cela revient à résoudre l'équation différentielle associée à la géodésique avec une méthode "de découpage" ce qui fonctionne pour des fonctions suffisement régulières.
Par contre, concernant le problème de "ou viser", j'ai bien peur que l'on doive tatonner et que ce ne soit pas du tout évident de trouver la plus courte distance de A à B :
En math, une géodésique, c'est une courbe qui, localement minimise les distances de parcours et on montre que cela correspond à une équation différentielle qui, comme toute équa diff. sympa qui se respecte admet une unique solution si on fixe des conditions initiales. Cela signifie que, si tu fixe un point de départ et une direction de départ (i.e. un vecteur du plan tangent), cela définit bien une unique géodésique (que l'on peut prolonger autant qu'on veut). Evidement, pour tout point B suffisement proche de A, il va exister une unique géodésique qui passe trés vite par B, mais par contre, si B est "un peu loin" de A, ça risque d'être nettement plus compliqué et il risque d'y avoir des tas de géodésiques reliant A à B (pense au cas super simple de la sphére où toutes les géodésiques partant de A passent par le point A' aux antipodes de A)...