Fraction "successives".

[Ben314]

Salut,
On dit que deux fractions (*) sont "successives" lorsque toutes les fractions sont telles que .
Trouver une condition nécessaire et suffisante (très simple) pour que deux fractions soient successives.

(*) irréductibles et avec

[beagle]

comme 3/4 et 4/5 par exemple?

[Ben314]

Oui : on vérifie facilement qu'il n'y a aucune fraction de la forme avec comprise strictement entre et donc elles sont toutes telles que c'est à dire .

[nodgim]

Il faut ad-bc < 0 et ad-(b-1)c >=0

Ou, si l'on regarde c, il faut:

ad/b < c <= ad/b + 1

[aviateur]

Bonjour
Je n'ai pas vérifié tous les détails mais j'ai trouvé

[nodgim]

Il faut ad-bc < 0 et ad-(b-1)c >=0

Ou, si l'on regarde c, il faut:

ad/b < c <= ad/b + 1

ça ne suffit pas.

[beagle]

Bonjour
Je n'ai pas vérifié tous les détails mais j'ai trouvé

ah oui j'avais produit en croix donne deux nombres consécutifs donc pas min de b,d mais 1.
exemple:
4/19 et 3/14 donnent 56 et 57

mais pas:
4/19 et 2/9 qui font 36 et 38
et dans le cas présent 3/14 s'intercale

[beagle]

consequence de tout ceci:
si bc - ad =k
alors on peut mettre k-1 fractions successives entre a/b et c/d
c'est rigolo!

[nodgim]

Pour ma part, j'ai un critère plus simple :

Si (b;d) sont (Max; min) les fractions ne sont pas successives si Max > min + 1 .

Je développerais si Ben314 est d'accord.

[beagle]

Pour ma part, j'ai un critère plus simple :

Si (b;d) sont (Max; min) les fractions ne sont pas successives si Max > min + 1 .

Je développerais si Ben314 est d'accord.

euh tu peux mettre des exemples de fraction, je ne comprends pas bien
par exemple
4/19 et 3/14
19 est max, 14 es min on a 19 sup 14+1
donc elles ne sont pas fractions successives.
donc il y a quoi entre les deux?

[Ben314]

ah oui j'avais produit en croix donne deux nombres consécutifs donc pas min de b,d mais 1.

Oui, la C.N.S. (on ne peut plus simple), c'est effectivement que le "produit en croix" bc-ad soit égal à 1, c'est à dire en fait que
Par contre, j'aimerais avoir une preuve, sachant que dans un sens, c'est relativement facile, mais que dans l'autre, la seule preuve que je connais est "un peu bizarre"....

[nodgim]

ah oui j'avais produit en croix donne deux nombres consécutifs donc pas min de b,d mais 1.

Oui, la C.N.S. (on ne peut plus simple), c'est effectivement que le "produit en croix" bc-ad soit égal à 1, c'est à dire en fait que
Par contre, j'aimerais avoir une preuve, sachant que dans un sens, c'est relativement facile, mais que dans l'autre, la seule preuve que je connais est "un peu bizarre"....

Bon, grillé !
J'en suis arrivé là aussi, sans pour autant avoir une preuve carrée - carrée....

[beagle]

Hier après-midi j'avais pensé rapidement au produit en croix différence =1.
j'ai effacé plusieurs messages parce que je me demandais si ou si.
j'ai laissé finalement en soirée la conjecture.

et dans la soirée j'ai cherché si c'était connu ces fractions successives,
je suis tombé sur cette ref:
https://books.google.fr/books?id=G4DxA8 ... hs&f=false

Bon moi cela me passe au-dessus bien sur, mais vous cela vous dira ptète.

[aviateur]

Bonjour Je supprime ma démonstration de la réciproque car j'ai déconné!!!

[Ben314]

... on a

Tu peut un peu détailler ?
Perso, je comprend pas trop comment tu obtient ton en particulier du fait que dans ton laïus, je vois pas bien d'où on va tirer une quelconque majoration de d...

[aviateur]

Non je ne peux pas détailler c'est une erreur grossière.
Ne pas en tenir compte svp

[Ben314]

Si il y en a qui veulent chercher, en fait la partie assez facile, c'est dans le sens "si bc-ad=1 alors a/b et c/d sont successives"
Bizarrement, dans l'autre sens : "si bc-ad>=2 alors a/b et c/d ne sont pas successives", c'est nettement moins évident (*) alors que normalement, on se dit qu'il suffit d'exhiber une bête fraction p/q comprise entre les deux.

(*) ou alors c'est que j'ai pas trouvé la façon simple de le faire...

[nodgim]

Bon je l'ai, je crois.

On cherche à vérifier que la plus petite fraction c/d de dénominateur < B, immédiatement > à A / B est telle A/B - c/d = -1/Bd.

La différence A/B - ck/dk = (A*dk-B*ck) / (B*dk), et on pose que le numérateur A*dk-B*ck = -k, dk et ck sont les valeurs de d et c indéxées au résultat k.
La différence s'écrit donc -k / (B*dk).

Puisque A et B sont premiers entre eux, toutes les valeurs k comprises entre 1 et B-1 sont possibles pour des valeurs dk comprises entre 1 et B-1.
Soit d1 pour k = 1. Pour obtenir une autre valeur dk, il suffit de faire dk = k*d1 (et ck = k*c1 modulo A) modulo B (de par la contrainte de l'énoncé d < B)
Soit n tel que n*d1 < B < (n+1) d1.
Pour tout k <= n , dk [B] = k*d1 et donc k/Bdk = k/Bkd1 = 1/Bd1.
Si k > n, alors dk [B] < k*d1 et donc k / (B*dk) > k / (B*k*d1) = 1 / Bd1

1/Bd1 est donc bien la plus petite fraction recherchée.

CQFD.

[aviateur]

Bonjour
Si je ne me trompes pas, @Nogdim je ne crois pas que tu réponds exactement à la question .
En effet par exemple si a/b est donné, tu trouves une fraction c_1/d_1 supérieure à a/b et telle que
c_1 b-a d_1=1. Mais si tu as une fraction c/d telle que a/b<c/d est bc-ad= 2(par exemple) tu ne montres pas que
c_1/d_1 est inférieur )à c/d.

[nodgim]

Bonjour
Si je ne me trompes pas, @Nogdim je ne crois pas que tu réponds exactement à la question .
En effet par exemple si a/b est donné, tu trouves une fraction c_1/d_1 supérieure à a/b et telle que
c_1 b-a d_1=1. Mais si tu as une fraction c/d telle que a/b<c/d est bc-ad= 2(par exemple) tu ne montres pas que
c_1/d_1 est inférieur )à c/d.

Il faut lire intégralement ce que j'ai écrit, Aviateur....