Fraction "successives".

[beagle]

J'ai pas bien compris la question, mais si ce que tu appelle "le delta", c'est bc-ad (si les fraction sont a/b<cd) alors le fait que "le delta" soit égal à 1, ben ça implique que a/b (et c/d) sont irréductibles.
C'est le théorème de Bézout : deux entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers (relatifs) u et v tels que au+bv=1.

alors normal que je ne tombe pas sur du reductible avec le produit en croix à 1, mon delta 1.
Mais alors si les réductibles ne concernent que les 2,3,..., je ne comprends pas pourquoi l'ordre k ou k+1 (selon les cas) des delta 1 ne marcheraient pas.Si on ordonne les delta 2 (en gardant pour la numérotaton d'ordre les réductibles) comme les delta 1, pourquoi on ne sait pas trouver le delta 1 placé idem en k (ou en k+1)?
Ben 314 si tu as des exemples.si tu me poses deux fractions a/c et c/d en delta 2, je veux bien chercher la delat1 qui fonctionne (si tu mes donnes qqs modulos tout de même parce qu'avec les fractions d'aviateurs je n'aurais pas été les chercher.

[Ben314]

Si tu veut juste un exemple où le produit en croix fait 2 (avec des fractions irréductibles), c'est pas bien compliqué : par exemple 3/5 < 7/11 ou si tu veut comme dans ta preuve que B>D, la même dans l'autre sens -7/11 < -3/5 qui, en ajoutant 1 des deux cotés donne 4/11 < 2/5.

[beagle]

Si tu veut juste un exemple où le produit en croix fait 2 (avec des fractions irréductibles), c'est pas bien compliqué : par exemple 3/5 < 7/11 ou si tu veut comme dans ta preuve que B>D, la même dans l'autre sens -7/11 < -3/5 qui, en ajoutant 1 des deux cotés donne 4/11 < 2/5.

euh oui j'y arrives à trouver 2.
ce que je dis c'est que si tu fixes ta fraction 3/5
tu sais toujours où se trouve pour une delta 2 celle qui est delta 1 fraction plus petite avec dénominateur plus petit, ici si on les range par ordre , pour toute fraction en delta 2 on connaît la fraction delta1 (celle de k-1) qui est à la fois plus petite et de dénominateur plus petit.
on numérote les delta2
1, 4/6, 7/11, 10/16, 13/21
on numérote les delta 1
2/3, 5/ 8, 8 /13, 11/18

ben pour k= 3 en delta 2, la 7/11
je sais qu'il existe en delta 1 la (k-1) 5/ 8
plus petite avec 8 inf à 11

pour la k=5 en delta2, la 13/21
je sais qu'il existe en delta 1 la (k-1) 8 /13
plus petite avec 18 inf à 21

etc...

[aviateur]

Rebonjour,
Bon, avec tout ces posts, je m'y perd; mais j'aimerais bien que l'on regarde ma démonstration qui je pense démontre que si le delta (comme certains disent) est supérieur à 1 alors les deux fractions sont consécutives.

[beagle]

idem
pour une fraction a/b donnée
pour tous les produits en croix de différence i, delta =i
on a une fraction e/f telle que ensuite toutes les fractions de même delta
s'écrivent (ka +e)/(kb+f)

là-dedans pour les i différents de 1 il y aura des fractions réductibles, mais on s'en fiche puisque la question est:
pour une fraction irréductible c/d de delta i , avec i sup 1,
existe-t-il une fraction de delta 1 qui est à la fois plus petite et de dénominateur plus petit que d

et bien la réponse est oui, il existe la fraction delta 1 d'ordre k ou ordre k-1 selon que le modulo de 1 arrive avant ou après celui de i, cette fraction par exemple ((k-1)a + g) / (k-1)b + h) si g/h est la première fraction en delta 1 (la première = la plus élevée)
ça k-1 c'est si on a d'abord le modulo du i qui arrive avant celui du 1
comme l'exemple 3/5 le delta 2 arrive avant le delta 1, il est même le premier et donne la fraction 1/1

[beagle]

Probable que le train soit à quai et que tout le monde soit descendu, mais j'ai pas trop le temps alors je reprends mon os.

on prend la fraction a/b
pour une fraction c/d on étudie le résultat de la différence des produits en croix., que l'on appelle le delta.

Pour chaque fraction c/d on cherche à quelle famille elle appartient, et on appelle e/f la première fraction, la plus élevée d'un delta i donné, sachant que le groupe des fractions de delta i s'écrit : (ka + e) / (kb+f)
on se fiche pour des raisons de maintien de l'ordre de garder les fractions réductibles.

Une des questions initiales de Ben314 était, quelle fraction delta 1 prendre qui va s'insérer entre a/b et c/d
La réponse était c'est la fraction delta 1 d'ordre k-1 si le delta2 (i) arrive en premier (avant delta 1) dans les modulos,
et la fraction d'ordre k sinon.
Et voici un exemple.
a suivre

[beagle]

On prend a/b =5/36

et maintenant:
5x1 = 5 , 36- 5 =31, delta 31, e/f = 1/1 les fractions de delta 31 seront des (5k +1) /(36k +1)
5x2 =10, delta 26
5x3 =15, 21
5x4 = 20 , 16
5x5 = 25 , delta 11
5x6 = 30, 6, le delta 6, avec e/f = 1/6

5x7 =35, delta 1, e/f=1/7, les delta 1 pour 5/36 sont les fractions (5k+1)/(36k+7)

5x8
...
5x14 = 70, 72-70= 2, delta 2, les delta2 pour 5/36 seront les fractions (5k+2) / (36k/14)
.....

[beagle]

Maintenant, j'ai une fraction delta 2 de 5/36
c'est par exemple: 37/266
c'est la fraction pour k=7
(5x7 +2) / (36x7 +14)

le modulo qui amène delta 2 est après le modulo qui a amené delta1
[(e/f de delta 1 sup (bon ici égal mais bon) le e/f de delta 2]
on garde le delta 1 avec k = 7
(5x7 +1) / (36x7 +7) = 36/259

on a alors delta1 de k=7 qui est entre 5/36 et 37/266, avec 259 plus petit que 266

............................................................
avec delta 6 prenons la fraction 31/222
qui correspond à k=6, ( 5x6 +1) / (36x6 + 6)
la fraction delta à chercher puisque le modulo qui amène delta 6 est avant celui de delta 1, cette fois c'est la k-1 qu'il faut prendre
la k=5, (5x5+1) / (36x5 + 7) = 26/187
on a bien 26/ 187 plus petit que 31/222 et 187 inférieur à 222

si on avait pris la k= 6 de delta1 on aurait eu 31/223 inférieur à 31/222 du delta 2, mais avec 223 supérieur à 222

[Matt_01]

Si il y en a qui veulent chercher, en fait la partie assez facile, c'est dans le sens "si bc-ad=1 alors a/b et c/d sont successives"
Bizarrement, dans l'autre sens : "si bc-ad>=2 alors a/b et c/d ne sont pas successives", c'est nettement moins évident (*) alors que normalement, on se dit qu'il suffit d'exhiber une bête fraction p/q comprise entre les deux.

(*) ou alors c'est que j'ai pas trouvé la façon simple de le faire...

Si je n'ai pas fait d'erreur, en supposant et , la fraction où i est l'entier strictement inférieur à tel que divise et fournit la "bête fraction" (après simplifications).