Fractals

[L.A.]

Bonjour à tous et à toutes,

pour coller au thème, je pose un petit défi sur les fractals puis je continuerai sur un thème que j'"investigue" depuis quelques temps...

On considère un carré, on le découpe en quatre selon les médianes et on retire le petit carré sud-est. Puis on reproduit la même opération sur les trois petits carrés restants, en retirant toujours le carré sud-est. Quelle figure obtient-on à la limite ?

(tracez-le par ordinateur, vous devriez être surpris du résultat :zen: )

Ce fractal peut s'interpréter comme l'ensemble des couples (A,B) de parties de N vérifiant A inclus dans B, via une "quasi-bijection" de P(N) dans [0,1] (surjection injective presque partout à l'exception d'un sous-ensemble dénombrable)



et son aire (qui est nulle) représente la probabilité que A soit inclus dans B sachant que chaque élément de A et de B est tiré à pile ou face de manière indépendante.

Une petite rotation de 90° et hop! on obtient l'ensemble des couples (A,B) vérifiant AUB = N, ou ceux vérifiant A inter B = vide.

Alors, dans un élan vers Goldbach, j'ai essayé de tracer l'ensemble des couples (A,B) tels que A+B=N où

A+B = {a+b | a dans A, b dans B}

et voici un résultat approché en rouge sur fond blanc :



J'aimerais bien connaître l'aire de ce fractal, qui est visiblement non nulle (ici j'ai zoomé sur le carré [3/4,1]x[3/4,1], le reste étant blanc edit : faux, voir plus bas, et le côté d'un pixel vaut 2^{-10}). Le total après homothétie de rapport 1/2 s'inclut dans le quart nord-est.

Voilà voilà :zen:

[Plimpton]

Soit une suite u(n) définie par :

u(0)=1
u(n+1)=(3/4)*u(n)

La limite de cette suite est 0 ... À moins d'avoir fait une erreur en interprétant comment se génère la figure

[Plimpton]

(cette suite récurrente définit les aires successives de la figure au rang n)

[L.A.]

Tu parles de la première situation c'est bien ça ? Je suis d'accord, mais dans la deuxième situation ce n'est plus aussi simple, le fractal est beaucoup plus aléatoire. Pour le moment j'ai pu montrer que la convergence était en (3/4)^n aussi.

[Skullkid]

Salut, je dois dire que j'ai un peu de mal à suivre la démarche de fond, surtout pour l'interprétation probabiliste.

Je vois bien que ton est une probabilité sur , mais tu as l'air de dire que est la probabilité d'obtenir A après avoir tiré à pile ou face, pour tous les entiers n, pour savoir si n est dans A ou pas. Mais si c'était le cas, toutes les parties de auraient une probabilité nulle...

Ta première fractale (celle où t'enlèves le carré sud-est) est l'ensemble des points (x,y) tels que pour tout n, le n-ième chiffre du développement binaire illimité de x est inférieur à celui du développement binaire illimité de y. Tu interprètes ça en disant que ça correspond à , mais évidemment comme est pas injective ça coince. Tu t'en sors visiblement en excluant les parties finies de mais du coup tu ne peux plus parler de probabilité puisque ta tribu n'en est plus une... 'fin bref y a un truc qui cloche !

Du coup, y aurait besoin de précisions sur comment tu construis ta deuxième fractale. Tu colories (x,y) s'il existe A et B infinies telles que , et ? Dans ce cas, sauf erreur, ta fractale devrait contenir des points hors de [3/4,1]x[3/4,1]...

[Ben314]

@Skullkid : mu est effectivement une probabilité sur P(N) (et pas sur N) et effectivement, si A est une partie de N, la proba de {A} (le singleton constitué de l'unique ensemble A) est nulle et ce n'est pas du tout absurde : c'est exactement la même chose qu'avec la loi uniforme sur [0,1] ou la proba de n'importe quel singleton {x} est nulle.
Par contre, si X est l'ensemble des parties de N contenant un entier donné (donc X n'est pas une partie de N mais un ensemble de parties de N) alors la proba de X est 1/2.

@L.A. Tu emploie le terme de "fractal" pour tes deux parties de [0,1]. Qu'entend tu par là ?
Autant la première partie correspndant à "A inclu dans B" est autoreproductible (et ce mot là, je sait ce qu'il signifie en math), autant, je ne pense pas que la deuxième correspondant à "A+B=N" le soit...
Sinon, concernant cette deuxième partie, je ne comprend pas bien a quoi correspond ton dessin donc j'ai beaucoup de ma à "visualiser qu'il est de mesure non nul" comme tu le fait.
Perso, j'aurais bien conjecturé (sans début de preuve pour le moment) que ton ensemble est de mesure nulle.

[Skullkid]

@Skullkid : mu est effectivement une probabilité sur P(N) (et pas sur N)

Ok, en disant "probabilité sur " je voulais dire que l'espace probabilisé dont il est question est .

si A est une partie de N, la proba de {A} (le singleton constitué de l'unique ensemble A) est nulle et ce n'est pas du tout absurde : c'est exactement la même chose qu'avec la loi uniforme sur [0,1] ou la proba de n'importe quel singleton {x} est nulle.
Par contre, si X est l'ensemble des parties de N contenant un entier donné (donc X n'est pas une partie de N mais un ensemble de parties de N) alors la proba de X est 1/2.

Là je crois qu'on ne parle pas de la même chose. Ce que tu décris correspond bien à l'idée de tirer une partie uniformément dans toutes les parties possibles, mais c'est pas ce que décrit le de L.A. qui mesure des parties, pas des ensembles de parties. Ou alors je suis complètement à côté de la plaque, ça fait longtemps que j'ai pas touché à ces trucs-là

Edit : pour moi, dit qu'on tire un entier au hasard et qu'on tombe sur 0 avec une proba 1/2, 1 avec une proba 1/4, etc.

[L.A.]

@Skullkid : effectivement je pense que tu as mal compris (parce que je n'ai pas été assez clair :zen: ), il y a 2 lois de probabilités ici :

- l'une est la loi géométrique de raison 1/2 que je ne considère pas vraiment en tant que probabilité, seulement en tant que "quasi-bijection". Chaque nombre dyadique a deux antécédents, l'un fini, l'autre de complémentaire fini, mais ils forment un ensemble dénombrable donc qui importe peu pour la suite ;

- et l'autre est la loi uniforme (mesure de Lebesgue), disons , resp. . Négligeant D, la loi correspond via à générer une partie de N en tirant chaque élément indépendamment à pile ou face. Resp. correspond à générer deux parties indépendantes.

@Ben314 : je pose



où , et le dessin correspond à pour n=10 ou 11, je sais plus exactement... La suite F_n est décroissante pour l'inclusion et son intersection F a des "propriétés fractales" au sens suivant : si h est l'homothétie de centre (1,1) et de rapport 1/2 alors h(F) est inclus dans F. Il y a peut-être d'autres autosimilarités du même type, mais c'est peut-être un peu faible pour qualifier l'ensemble de fractal, en effet.

Et je pense sans en avoir la certitude qu'il est de mesure non nulle, puisque que le tirage à pile ou face génère des ensembles relativement "lourds" et on peut espérer avoir A+B=N de temps en temps.

Autres questions : F est-il connexe ? et [0,1]² privé de F ? :dodo: 1 oui, 2 non, à mon avis...

[L.A.]

Dans ce cas, sauf erreur, ta fractale devrait contenir des points hors de [3/4,1]x[3/4,1]...

Remarque pertinente en effet, je pensais aux parties A telles que A+A=N et qui contiennent forcément 0 et 1. Mais si A+B=N, 1 n'est pas forcé d'être simultanément dans A et B. Du coup je dois retrifouiller mon petit programme...

[L.A.]

Ici F_10 dans le carré [1/2,1]x[1/2,1] (effectivement, on en aurait oublié des bouts...).

C'est quand même pas très régulier tout ça... on peut s'intéresser aussi à la longueur renormalisée par racine de 2 de la diagonale



Quant à la question de la connexité de [0,1]²\F, ce n'est pas impossible non plus quand on pense que l'ensemble de Mandelbrot est connexe (avec donc des tout petits filaments qui relient les îles entre elles...)

[Ben314]

Sinon, je pense que tu as raison :
Sauf erreur, pour n fixé, la proba que est égale à donc la proba que est majorée par .
On peut en déduire des encadrement de la proba que et en particulier je pense qu'on peut montrer qu'elle est non nulle.

[L.A.]

Ouaip... j'ai suivi surtout des mauvaises pistes pour le moment mais je pense que l'indépendance doit permettre de dire un certain nombre de choses non triviales. Reste à trouver le bon chemin pour le faire... On peut aussi se poser des questions sur l'indépendance elle-même : est-ce que l'événement est indépendant de l'événement ? ou autres choses du même genre.

Je me demande aussi si la forme un peu sale des approximations F_n n'est pas un peu trompeuse, et si ça ne deviendrait pas de plus en plus lisse au fur et à mesure... Si vous avez testé le petit défi préliminaire vous voyez sûrement de quoi je parle. Je veux dire qu'il doit y a voir des tonnes de façons d'approcher une même fractale, même si les méthodes paraissent très différentes à la base.

[Skullkid]

Ok j'ai fini par comprendre, merci d'avoir détaillé !

Du coup en poursuivant la première question de Ben314 j'ai commencé à chercher si on pouvait trouver d'autres autosimilarités que l'homothétie que tu donnes. Comme vous l'avez sans doute remarqué on peut traduire un certain nombre de transformations géométriques sur F en transformations ensemblistes sur A et B, genre l'homothétie de L.A. correspond à transformer A et B selon X -> {0}U(X+1), et les translations reviennent à ajouter/retirer des éléments à A ou B.

J'espérais pouvoir en tirer des infos sur les deux morceaux "hors diagonale" (quarts nord-ouest et sud-est sur le dernier dessin de L.A.), mais pour l'instant j'arrive à rien :D