LA fonctionnelle !!!

[Imod]

Bonsoir à tous :zen:

Les habitués du forum se souviennent forcément de la fonctionnelle : avec f continue sur .

Je me souviens que Doraki et ffpower avaient quasiment solutionné le problème en remarquant que (1,(f(1)) devait être centre de symétrie et en introduisant une fonction auxiliaire périodique et continue ...

Je m'étais promis de regarder la solution en détail à mes temps perdus mais j'avais un peu laissé tomber l'affaire . Le sujet est ressorti récemment sur le site de Liège et j'ai constaté que le fil n'avait pas supporté le crack du forum .

Si quelqu'un a gardé trace de la solution proposée ou veut bien en proposer une autre ...

Merci d'avance :we:

Imod

[Doraki]

comme on cherche des fonctions continues, on peut se restreindre à chercher f sur Q.
Aussi, pour que ne pas s'embêter à cause du 1/x, on peut chercher f sur Qu{;)} en posant 1/0 = ;), 1/;) = 0, et ;)+1 = ;).
Soit g(x) = f(x) + f(1/x) - f(x+1).

0 = g(1/(x-1)) - g(x-1) = f(x) - f(x/(x-1)), donc f(x) = f(x/(x-1)).

0 = g(-1/x) + g(1/(x-1)) + g((1-x)/x) + g((x-1)/x) - g(1-x) - g(x-1) - g(x/(1-x)) - g(-x)
= (f(x)+f(2-x)) - (f(1/x)+f(2-(1/x))),
et
0 = g((1-x)/x) + g(x) - g(1-x) - g(x/(1-x)) = (f(x)+f(2-x)) - (f(x+1)+f(2-(x+1))),
donc la fonction f(x)+f(2-x) est invariante par x->x+1 et x->1/x.
comme ces deux transformations engendrent les homographies, et qu'elles agissent transitivement sur Qu{;)}, la fonction f(x)+f(2-x) est donc constante.

On peut donc simplifier l'équation fonctionnelle grâce à ces deux symétries.
f est déterminée par ses valeurs sur [0;1], et en fait la condition sur f|[0;1] obtenue est :

Pour tout x de [0;1/2], f(x) + f(1-x) = f((1-2x)/(1-x)).

Soit d : [0;1] -> [0;1] définie par d(x) = 1-x,
et h : [0;1] -> [0;1] définie par h(x) = (1-2x)/(1-x) pour x<=1/2, et h(x) = h(d(x)) pour x>=1/2.
On a d(d(x)) = x et h(x) = h(d(x)) pour tout x de [0;1], et les fonctions cherchées sont les fonctions vérifiant f(x) + f(d(x)) = f(h(x)) pour tout x de [0;1].


Soit G(x) = f(x) - f(d(x)). Alors G est une fonction continue telle que G(x) + G(d(x)) = 0.
Soit F(x) = G(x)/2 - G(d(h(x)))/4 - G(d(h(h(x))))/8 - ... (c'est une fonction continue)
Alors F(x) = f(x)/2 - f(d(x))/2 - f(d(h(x)))/4 + f(h(x))/4 - f(d(h(h(x))))/8 + f(h(h(x))/8 + ...
= f(x) - (f(x) + f(d(x)) - f(h(x)))/2 - (f(h(x)) + f(d(h(x))) - f(h(h(x))))/4 - ...
= f(x).

Réciproquement, si G est une fonction continue de [0;1] dans [0;1] vérifiant G(x)+G(d(x)) = 0,
et si on pose F(x) = G(x)/2 - G(d(h(x)))/4 - G(d(h(h(x))))/8 - ... ,
alors F(x) + F(d(x)) - F(h(x)) = (G(x) + G(d(x)) - G(h(x)))/2 - G(d(h(x))) + G(d(h(x))) - G(d(h(h(x))))/4 - ...
= (G(x) + G(d(x)))/2 - (G(h(x)) + G(d(h(x))))/2 - (G(h(h(x))) + G(d(h(h(x)))))/4 - ... = 0,
et F(x) - F(d(x)) = G(x)/2 - G(d(x))/2 = G(x) - (G(x)+G(d(x)))/2 = G(x).

On a donc décrit une bijection entre les fonctions G continues sur [0;1] satisfaisant G(x) + G(d(x)) = 0 et les fonctions F continues sur [0;1] satisfaisant F(x) + F(d(x)) = F(h(x)), et donc avec les fonctions f continues sur Ru{;)} satisfaisant f(x)+f(1/x) = f(x+1).

Et les fonctions G continues satisfaisant G(x) + G(d(x)) = 0, sont déterminées par leur valeur sur [0;1/2], et la seule condition sur G|[0;1/2] est G(1/2) = 0. C'est facile à résoudre.

[Imod]

Merci à Doraki pour la réponse :lol3:

Imod

[Imod]

J'ai quand même trouvé un peu de temps pour lire attentivement la réponse de Doraki , je peine un peu sur le passage de [0;1/2] à [0;1] . La relation f+fod=foh permet bien de définir f sur [0;1[ mais comment éviter un phénomène de battement au voisinage de 1 ? Je n'ai pas lu la suite car on se place d'emblée sur [0;1] .

Imod

[Doraki]

de quel passage de [0;1/2] à [0;1] tu parles ?

- on part de G sur [0;1/2] satisfaisant G(1/2) = 0.

- on étend G à [0;1] en utilisant G(x) + G(d(x)) = 0. Y'a pas de problème de recollage parcequ'on a pris exprès G(1/2)=0.

- à partir de G sur [0;1] on construit f sur [0;1], en faisant f = G.(id/2 - dh/4 - dhh/8 - ...). Comme g est continue et définie sur un compact, g est bornée, donc f est la limite d'une suite de fonctions continues qui converge uniformément. Donc f est continue sur [0;1], et elle vérifie f+f°d=f°h pour tout x de [0;1], donc en particulier elle vérifie f(x)+f(1-x) = f((1-2x)/(1-x)) pour tout x de [0;1/2]

- on étend f à R en utilisant f(x)=f(x/(x-1)) et f(x)+f(2-x) = Cste = 2*f(1), et on obtient une fonction f continue vérifiant f(x)+f(1/x)=f(x+1) pour tout x de R.


Y'a pas de problème de battement parcequ'on essaye jamais de résoudre l'équation f+f°d=f°h de manière simplette du genre "on fixe f sur [0;1/2], on en déduit f sur [1/2; h-1(1/2)], puis sur [h-1(1/2), h-2(1/2)], puis sur ..., puis sur ..., puis... ah bah mince comment je fais pour prouver que c'est continu en 1 ?".

A la place on fait un tour de passe-passe. On profite que la contrainte est seulement sur "pour tout x de [0;1/2], ...", ce qui laisse de la marge pour l'étendre formellement en un truc équivalent sur [0;1] de manière à avoir exprès d°d = id et h°d = h, pour revenir dans un cadre où on peut itérer les transformations sur [0;1] dans le bon sens et faire de la magie avec l'algèbre abstraite ou les séries de Fourier.

[Imod]

J'avais en effet mal compris !

A ma décharge mon cadre habituel ne dépasse pas le niveau maths de collège alors Fourier ou groupe à la gomme , ça me dépasse un peu :zen:

Je vais reprendre là où je m'étais arrêté , m'avais un peu gêné mais à la réflexion , ça doit passer .

Imod

[Doraki]

nan, la définition de h dit que h(1) = h(d(1)) = h(0) = (1-2*0)/(1-0) = 1.
C'est censé être une fonction de [0;1] dans [0;1].

D'ailleurs, en itérant h, tous les rationnels finissent par aterrir sur 1 au bout d'un moment,
ce qui permet d'écrire f(r) comme combinaison linéaire finie de valeurs de g pour tout rationnel r.

[Imod]

Tu deviens opaque ou je suis vraiment fatigué pour , pose problème .

Imod

[Doraki]

nan pour h j'ai posé :
si x est dans [0;1/2], h(x) = (1-2x)/(1-x),
si x est dans [1/2;1], h(x) = h(1-x), = (2x-1)/x.

[Imod]

Au temps pour moi :marteau:

Soit d : [0;1] -> [0;1] définie par d(x) = 1-x,et h : [0;1] -> [0;1] définie par h(x) = (1-2x)/(1-x) pour x=1/2.

Je vais pouvoir reprendre ma lecture ( je suis un peu lent ) .

Imod