Fermat-Wiles n=3 méthode alternative

[fabo34]

Bonjour,
je voulais essayer de résoudre Fermat-Wiles pour n=3 avec la même technique que pour n=2 en passant par les rationnels. Un élève de 1ère peut résoudre ça. On obtient alors une paramétrisation par 2 entiers (p,q) des triplets (x,y,z) tels que (x³+y³=z³). On remaque que seul x est entier. Du moins, pour montrer que y et z ne peuvent jamais être des entiers, il faut montrer l'impossibilité d'une nouvelle équation diophantienne:
3p(4q³-p³)=d²

Là je bute? Auriez-vous des idées?

Je vous joins une image de la démarche:



La méthode bien connue pour n=2 (et qui marche directement!)

[fabo34]

Bonjour à tous.

Personne pour 3p(4q³-p³)=d² ? Moi qui pensais que c'était prenable: on a (presque) déjà la coprimalité avec pgcd(p,4q³-p³)=1, en tout cas pour p impair.

Concernant les couples (p,q) tels que (4q³-p³)=d², on en trouve, comme (21,20), (2,3), (6,7) ... mais alors c'est 3p qui n'est pas carré!

Vraiment personne?

[fabo34]

Après une petite pause,

je pense avoir avancé sur le cas p impair. Il semble qu'il y ait une contradiction modulo 8
Je donne ici la table pour les exposants 2, 3 et 6
__ 2 3 6
1| 1 1 1
2| 4 0 0
3| 1 3 1
4| 0 0 0
5| 1 5 1
6| 4 0 0
7| 1 7 1

d=3p(4q³-p³). on suppose d un ². p impair, donc d impair.
De plus, pgcg(p,q)=1 donne d'emblée pgcd(p,4q³-p³)=1 . Alors:

_Si 3 ne divise pas p, p nécessairement un ². Donc p³=p'⁶ et p³==1[8],
thm Gauss=> on a aussi 3(4q³-p³)=g² donne 3*(0-1)==1[8] . impossible!

_Si 3 divise p, 3 ne divise pas 4q³-p³ (coprimalité). Donc d ² nécessite p=p'².3.3²ⁿ (multiplicité impaire)
ce qui donne p³=p'⁶.27.(3³ⁿ)² , soit p³==1.3.1==3[8]
thm Gauss =>on a aussi 4q³-p³=g² , soit 0-3==1[8] impossible!

Quelq'un pour vérifier? De plus, Z/8Z n'étant pas un corps, je ne sais pas si j'ai le droit de faire cela.