[Défi Lycée] - Factorisations

[Lostounet]

Bonjour,

Comment factoriser, en utilisant au maximum des outils de seconde/première, les deux polynômes:

[WillyCagnes]

bjr
pour Q(x) on peut poser U=x^5
Q(U)=1+U+U²
facile à resoudre dans les complexes pour mettre en facteurs

que l'on peut aussi utiliser dans P(u)=(1+u+u²)(1-u²+u^3 -u^5+u^6)

[Lostounet]

Bonjour,
Les complexes ne sont pas connus en première/seconde

Il faut aussi extraire des racines cinquièmes de complexes puis les regrouper.
Par contre pour P, le changement de variable que tu proposes ne marche pas

[beagle]

c'est une méthode rigoureuse ou du tatonnement aidé?
Parce que pour x=1 cela fait 3 donc les produits de facteur vont faire 3
pour x= -1 cela fait 1
voilà qui limite un peu ce que l'on peut mettre dedans
sachant qu'aux deux bouts on a bien envie de faire du 1 x 1 = 1
et x^8 = x puissance 7 fois x puissance 1
ou 6 et 2 ou 5 et 3 ou 4 et 4
Pas bien regardé si cela fait encore beaucoup de choix?

[chan79]

salut
c'est un peu artificiel, mais bon
On "complète":





ou alors, on voit que j et j² annulent P (pour terminales et plus)

[beagle]

y a t-il un rapport avec le fait que cela marche pour:
x^17 + x^10 + 1
x^13 + x¨14 + 1
x^58 + x^29 + 1
......
enfin plenty of qui ressemblent.

[beagle]

et les cousins germains:
x^26 + x^16 + 1
x^32 + x^22 + 1
x^154 + x^38 +1
....

[Lostounet]

Salut
c'est un peu artificiel, mais bon
On "complète":





ou alors, on voit que j et j² annulent P (pour terminales et plus)

C'est un peu comme faire une division euclidienne par 1+x+x^2.

Mais après comment peut-on au lycée savoir que la factorisation est finie? La méthode ne le dit pas.

[Lostounet]

y a t-il un rapport avec le fait que cela marche pour:
x^17 + x^10 + 1
x^13 + x¨14 + 1
x^58 + x^29 + 1
......
enfin plenty of qui ressemblent.

Oui mais il faut aller chercher des critères d'irréductibilités (Eisenstein et compagnie) pour en tirer quelque chose de général pour trouver des briques élémentaires ou des simplifications miraculeuses.

Mais pas facile avec des outils rustiques.

[beagle]

J'ai trouvé la filmographie d' Eisenstein, mais alors dans quel film il a expliqué ça, ptain je suis pas rendu!

[Pseuda]

Bonsoir Lostounet,

En 1ère pour savoir que la factorisation s'arrête à 1+x+x^2, c'est facile : delta. Sauf qu'on ne sait pas très bien que : une ou des racines implique factorisable

Pour savoir qu'un polynôme de degré supérieur est factorisable, on peut toujours chercher ses racines en étudiant la fonction : dérivée première, seconde... à condition que le degré ne soit pas trop élevé, et sauf même remarque. Sans compter que le polynôme peut être factorisable sans racine réelle : X^4+X^2+1.

[beagle]

oui mais comment on explique au lycée que cela marche toujours super bien, (enfin dès qu'on a reperé un petit truc):
x^154 + x^149 + 1
x^131 + x^76 + 1
....

dans ces cassis deux produits de facteur = le deuxième ne peut pas ètre refactorisé

[Lostounet]

Bonsoir Lostounet,

En 1ère pour savoir que la factorisation s'arrête à 1+x+x^2, c'est facile : delta. .

Bonjour
Tu veux faire delta pour un polynôme de degré 6 ? :p

Je demandais comment savoir qu'on ne peut pas scinder le polynôme de degré 6 qui reste. Pour le 1+x+x^2 j'accepte la proposition.

[beagle]

Bon alors il ya une serie avec deux facteurs,
mais la série que j'ai mise avec les ordres pairs est en 3 facteurs, n'est-ce pas,
donc dans un cas le deuxième facteur n'est pas refactorisable
et dans un cas oui:

x^122 + x^112 + 1
x^76 + x^134 + 1
là on peut refactoriser (donc 3 produits de facteur)

mais pour comprendre faut aller au lycée.
Vous savez quel lycée je dois aller pour comprendre ça?
je demande à voir qui? Et de la part de qui?

[Pseuda]

@Lostounet Non delta que pour le degré 2 Sinon pour le polynôme de degré 6, je ne vois rien sans aide au lycée.

[chan79]

pour revenir au problème posé, on peut factoriser Q à partir de la factorisation de P



la seconde parenthèse vaut

on a donc



on factorise

[aviateur]

Bonjour
On peut remarquer que Q(x)=(1+x^5+x^10) admet une factorisation de la forme
avec après calculs





mais visiblement ce n'est plus du niveau collège.
Par contre je ne sais pas s'il est possible de trouver la décomposition de P(x). C'est à voir.
Pourquoi ne pas proposer
et ça on peut le faire au collège:

[Pseuda]

Je demandais comment savoir qu'on ne peut pas scinder le polynôme de degré 6 qui reste. Pour le 1+x+x^2 j'accepte la proposition.

Bonjour,

D'ailleurs, le polynôme de degré 6 est factorisable ? On le sait dans le supérieur. Mais sait-on le factoriser ? Avec la méthode d'@aviateur ?

Par contre, si on sait que le polynôme est factorisable (par exemple car on a reconnu des racines complexes conjuguées), on peut tjs faire la division euclidienne (niveau lycée aidé) ou recherche des coefficients par identification.

Mais sauf cas particuliers, je ne vois pas.

[chan79]

Par contre, si on sait que le polynôme est factorisable (par exemple car on a reconnu des racines complexes conjuguées), on peut tjs faire la division euclidienne (niveau lycée aidé) ou recherche des coefficients par identification.

Mais sauf cas particuliers, je ne vois pas.

oui, pour factoriser complètement P, il faudrait pouvoir calculer les réels , , , , et tels que:



Du calcul en vue, on dirait ...

[Pseuda]

y a t-il un rapport avec le fait que cela marche pour:
x^17 + x^10 + 1
x^13 + x¨14 + 1
x^58 + x^29 + 1
......
enfin plenty of qui ressemblent.

Bonjour Beagle,

Il y a un rapport en effet. En fait tous les polynômes du type marchent. Parce que les racines cubiques j et j^2 de 1 sont racines de ces polynômes, donc ils sont factorisables par .

J'imagine qu'on peut en fabriquer plein du même genre, avec les racines quatrièmes, cinquièmes,... de 1 !