Fabrique à nombre premiers....
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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Ben314
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par Ben314 » 19 Nov 2018, 15:38
Salut,
Peut-on trouver trois entiers naturels non nuls tels que, quelque soient les nombres premiers distincts , le nombre soit lui aussi premier ?P.S. : Il n'est pas utile d'utiliser de "gros outils" style répartition des nombres premiers ou théorème de Dirichlet donc on peut le faire avec un niveau "Lycée".
(mais c'est pas mal astucieux...)
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aviateur
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par aviateur » 20 Nov 2018, 12:42
Bonjour
La réponse est non puisque pour tout nombre premier p et tout
il existe une infinité de nombre premier P congru à a modulo p.
Mais s'il faut se restreindre à des connaissances de Terminale??
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Ben314
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par Ben314 » 20 Nov 2018, 13:36
Effectivement, en utilisant le Théorème de Dirichlet (j'espère ne pas me gourer sur le nom du théorème que tu utilise), c'est facile : une fois a et b fixés, tu prend un nombre
premier à la fois avec
et avec
: il existe une infinité de premier
tels que
et une infinité de premier
tels que
et pour de tout tel couple
on a
qui divise
.
Mais il y a aussi une preuve niveau Lycée (en ce qui concerne les théorèmes/résultats utilisés).
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descampsh
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par descampsh » 23 Nov 2018, 14:52
Que vous êtes tous vraiment doués en mathématique, je suis un peu faible dans ce matière, c'est pour cela que j'ai consulté souvent ce forum pour avoir des réponses et des bonnes explications sur un tel sujet. Merci à vous de nous avoir aidé.
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Matt_01
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par Matt_01 » 18 Déc 2018, 05:13
Si je ne m'abuse, si tous les ap + bq sont premiers pour p,q premiers >= N alors les a(ap + bq) + b(aq +bp) le sont aussi (car ap + bq et aq + bp sont premiers >= N).
Dés lors les (a²+b²)p + (2ab)q sont premiers pour p,q premiers >=N
Si on construit alors (a(n+1), b(n+1) ) = (a(n)² + b(n)² , 2a(n)b(n) ), on voit que b(n+1) est divisible par tous les éléments de Pn = { p premier tq p divise a(i) pour i<=n}
Si l'union des Pn est finie alors b(n) et a(n) ne seront pas premiers entre eux à partir d'un certain rang => les a(n)p + b(n)q ne peuvent pas être tous premiers.
Si l'union des Pn est infinie on pourra trouver p' et q' premiers distincts >= N tels que p' divise a(i) et q' divise a(j) avec i < j.
Mais alors b(j) est divisible par p' et donc a(j)p' + b(j)q' est divisible par p'q' et donc non premier.
L'idée c'est en fait de voir que l'énoncé est facile à montrer lorsqu'on peut prendre pour p et q certains diviseurs de a et b, et d'alors se ramener via la transformation (a,b) -> (a²+b², 2ab) à des couples d'entiers avec des diviseurs premiers suffisament grands (et qui contournent ainsi la contrainte p,q >= N).
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Ben314
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par Ben314 » 18 Déc 2018, 08:33
Oui, c'est bien ça.
En précisant bien (vu que c'est pas clair vu la façon dont tu l'écrit) que
Pn = { p premier tq p divise au moins un a(i) pour i<=n}
(i.e. c'est un "il existe i<=n tel que" et pas un "pour tout i<=n")
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Matt_01
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par Matt_01 » 21 Déc 2018, 00:53
Oui bien sûr, c'est vrai que c'est pas clair en relisant ce que j'ai écrit.
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