Exo arithmétique(4)

par **Imod** » 06 Aoû 2007, 14:15

Un petit exercice pour occuper ceux qui , comme moi , ont droit à un lundi particulièrement gris et pluvieux :cry:

Peut-on partitionner

en un nombre fini de suites arithmétiques de raisons distinctes et différentes de 1 ?

Bon courage !!!

Imod

par **emdro** » 06 Aoû 2007, 14:41

Ici, en Normandie, il fait super beau!

Je dirais que ce n'est pas possible de trouver une telle partition. Au feeling!
Au fait, tu veux une vraie partition, sans aucun recoupement, ou un simple recouvrement de IN?

par **Imod** » 06 Aoû 2007, 14:54

emdro a écrit:Ici, en Normandie, il fait super beau!

Je dirais que ce n'est pas possible de trouver une telle partition. Au feeling!
Au fait, tu veux une vraie partition, sans aucun recoupement, ou un simple recouvrement de IN?

Une "vraie" partition , aucun recouvrement ... Profite bien du soleil , j'ai bien peur que demain tu ne sois à la même enseigne que moi !

Imod

par **emdro** » 06 Aoû 2007, 15:54

Les raisons des suites ne doivent pas être premières entre elles deux à deux.
Voilà juste à quoi me mène la torpeur de l'été! Est-ce même juste...

par **Imod** » 06 Aoû 2007, 16:26

Rain' a écrit:Par un nombre infini oui, par un nombre fini je sais pas encore.

Je n'ai pas cherché , tu as un exemple de partition avec un nombre infini de suites ?

emdro a écrit:Les raisons des suites ne doivent pas être premières entre elles deux à deux. Voilà juste à quoi me mène la torpeur de l'été! Est-ce même juste...

En fait il n'y a pas de solution et il ne faut pas hésiter à sortir du cadre strict de l'arithmétique usuelle .

Imod

par **emdro** » 06 Aoû 2007, 16:33

Imod a écrit:Je n'ai pas cherché , tu as un exemple de partition avec un nombre infini de suites ?

Première suite:
Un nombre sur deux [tous les nombres pairs]
0;2;4;6;... (raison 2)

Deuxième suite:
Un nombre sur deux parmi ceux qui restent
1;5;9;13;...(raison 4)

Troisième suite:
Un nombre sur deux parmi ceux qui restent
3;11;19;...(raison 8)

etc...

Ca marche non?

par **emdro** » 06 Aoû 2007, 16:38

On a encore eu la même idée!

par **Imod** » 06 Aoû 2007, 16:41

Il faut en effet :

Imod

PS : pour l'ecercice initial , je précises que les raisons doivent être distinctes 2 à 2 .

par **Imod** » 06 Aoû 2007, 17:13

Bien vu Rain , il reste à montrer que la partition est impossible même quand deux raisons quelconques ne sont pas premières entre elles par exemple : 6 ; 10 ; 15 !

Imod

par **emdro** » 06 Aoû 2007, 17:13

Pour un joueur de percu comme Imod, ou un pianiste comme moi, habitués à la polyrythmie, ce point était une question de feeling!

Parions que ce ne sera pas une avancée du point de vue d'Imod...

par **Imod** » 06 Aoû 2007, 18:25

Il me semble que ton inégalité est fausse . En prenant

et en notant

:
Le membre de gauche vaut :

Le membre de droite :

.
L'inégalité devient :

ce qui contredit la divergence de la série harmonique .

Imod

par **Imod** » 06 Aoû 2007, 19:21

Rain' a écrit:ah oui d'accord tu voulais dire et pas . Ok ça marche pas.

Désolé , faute de frappe :marteau:

Imod

par **alben** » 06 Aoû 2007, 20:19

Bonsoir à tous,

Je ne sais pas si si c'est qu'à voulu dire Rain' mais si les

(i allant de 0 à n) sont les raisons des n+1 suites et M leur ppcm, on a une périodicité de période

Cela implique qu'elles doivent toutes avoir leur premier terme entre 0 et T et que les raisons vérifient

PS A la réflexion, je crois que j'ai écrit une bétise

par **alben** » 06 Aoû 2007, 20:37

Oui, en prenant le produit P au lieu du ppcm, chaque suite aura exactement P/xi valeurs sur une période comptant P nombres. Comme tous ces nombres doivent être atteint exactement une fois, on a bien l'égalité que j'ai indiquée

par **Imod** » 06 Aoû 2007, 23:56

Un premier indice .

En supposant par l'absurde qu'une telle partition existe et en considérant un complexe

de module inférieur à 1 , on peut exprimer

à l'aide de

et des raisons et premiers termes des séries .

Imod

par **Imod** » 07 Aoû 2007, 11:16

Rain' a écrit:C'est gentil Imod, parce qu'un indice pareil mais avec la meilleure volonté du monde, faut le faire pour y penser. Ou alors y a un truc que j'ai loupé.

Ah bon , tu n'y avais pas pensé :doh:

J'aurais pu donner l'indice d'emblée mais je suis sûr qu'une petite recherche sans indication n'est pas une perte de temps :we:

De toute façon , il faut encore exploiter l'indice :we:

Imod

par **alben** » 07 Aoû 2007, 11:30

Bonjour,

Bon en suivant l'indice, on dérive

, on remplace chacun des i par leur expression dans une suite et on regroupe par suite. Cela donne tous calculs faits et sauf erreur :

On doit pouvoir faire quelques chose en s'intéressant aux pôles mais ce n'est pas trop le genre d'outil des olympiades...

par **Imod** » 07 Aoû 2007, 11:50

alben a écrit:. On doit pouvoir faire quelques chose en s'intéressant aux pôles mais ce n'est pas trop le genre d'outil des olympiades...

En fait , on peut trouver une formule plus simple et les outils utilisés ne dépasse pas ( je crois ) le programme de TS . D'autre part , j'ai toujours trouvé un peu hypocrite ces sujets d'olympiades soi-disant de niveau terminale ( car la solution peut s'écrire avec des connaissances de terminale ) mais inspirés d'idées bien plus relevées :hum:
En ce sens , cet exercice n'est pas de niveau terminale donc n'est pas de niveau olympiade !!!

Imod

par **alben** » 07 Aoû 2007, 12:53

Oui, en appelant x la plus grande raison des suites, si z tend vers sa racine d'argument

, on peut vérifier que pour toutes les autres raisons, z^{x_k} est différent de 1. Idem pour z
Finalement, dans la relation que j'ai donnée plus haut, un seul terme tendra vers l'infini, impossible.
Je n'ai pas cherché à simplifier cette relation puisqu'elle conduit au résultat.
Mais la démarche passant par les complexes ne me plait pas, je vais essayer de trouver une solution purement arithmétique...

par **Imod** » 08 Aoû 2007, 13:34

Si alben ne trouve pas de solution arithmétique , je donnerais sous peu une solution légèrement plus simple que la sienne mais avec des complexes . D'ici là un autre exercice très proche et dont la solution est complètement arithmétique .
Je reprends les notations d'alben : pour i de 0 à n ,

et

sont les premiers termes et les raisons de chacune des suites . On suppose toujours que les suites partitionnent

mais on supprime les contraintes sur les raisons . Montrer qu'alors :

:zen:

Question supplémentaire : cette condition est-elle suffisante ? :hein:

Imod

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