Exo arithmétique (2)

par **BiZi** » 04 Juil 2007, 12:22

Bonjour, un autre petit exo, un peu plus difficile que le précédent je pense:

Soit

une suite d'entiers contenant une infinité de nombres strictement positifs et strictement négatifs tel que:

Pour tout n entier naturel strictement positif

aient des restes deux à deux différents modulo n.

Montrer que une telle suite contient exactement une fois chaque entier.

par **lapras** » 04 Juil 2007, 14:37

slt

Tu veux dire que :
soit r tel que :
a1 = r mod a3
soit r' tel que :
a1= r' mod a7
et x et x' tels que :
r = x mod n
r = x' mod n
alors x différent de x' ?
c'est pour etre sur de comprendre ;)

par **BiZi** » 04 Juil 2007, 17:10

lapras a écrit:slt

Tu veux dire que :
soit r tel que :
a1 = r mod a3
soit r' tel que :
a1= r' mod a7
et x et x' tels que :
r = x mod n
r = x' mod n
alors x différent de x' ?
c'est pour etre sur de comprendre

Euh, je n'ai pas tout compris; juste pour clarifier, prenons un exemple: pour n=2, l'énoncé signifie que

; pour n=3 que

,

, et que

. Voilà!

par **lapras** » 04 Juil 2007, 19:50

Ok je comprend.
Une question : je suis en seconde, es ce qu'il yaurait des moyens mathématiques comme les log que je ne connais pas et qui m'empecherais de faire l'exo ?

j'y réfléchis ;)

par **Sylar** » 04 Juil 2007, 21:10

Tu connais les congruences en 2nde ?

par **BiZi** » 04 Juil 2007, 21:33

En théorie, cette exercice est accessible sur le point de vue des connaissances à un seconde, à condition de savoir les choses de base (ce que c'est un reste, la divisibilité...). Mais en pratique, c'est mieux d'avoir fait terminale spé maths, histoire d'être un peu habitué aux raisonnements. En plus, c'est déjà un exo très difficile même en ayant atteint ce niveau (olympiades internationales!). Mais cependant tu peux toujours réfléchir dessus; tu peux déjà commencer par l'unicité, c'est assez facile.

par **lapras** » 04 Juil 2007, 21:52

Tu connais les congruences en 2nde ?

je ne suis pas censé mais j'ai fait quelques stages de math qui me l'ont enseigné.

En théorie, cette exercice est accessible sur le point de vue des connaissances à un seconde, à condition de savoir les choses de base (ce que c'est un reste, la divisibilité...). Mais en pratique, c'est mieux d'avoir fait terminale spé maths, histoire d'être un peu habitué aux raisonnements. En plus, c'est déjà un exo très difficile même en ayant atteint ce niveau (olympiades internationales!). Mais cependant tu peux toujours réfléchir dessus; tu peux déjà commencer par l'unicité, c'est assez facile.

Ok

par **Imod** » 04 Juil 2007, 22:24

Un bel exercice qui m'a l'air en effet un peu ardu car sans aspérité ( on ne sait pas comment le prendre ) mais dont la solution semble curieusement juste .

Imod

par **aviateurpilot** » 05 Juil 2007, 19:48

salut Bizi, ca fait longtemps que tu n'a pas posté tes beau exo d'arithmetique,
merci pour cet exo,et voila ma solution

donc pose

on a donc

verifie les meme proprietés que

*) supposons

parmi

ce qui est absurde.
donc

**) supposons

parmi

ce qui est absurde
donc

contient une infinité d'entiers strictement positif et une infinité d'entiers strictement negatif.
donc a partir d'un certain rang

on peux prendre

et

donc

et on a donc

et

avec

(resultat evident)
par suite

conclusion:

et on remarque facilement que

(car

contient une infinité d'entiers strictement negatifs )
et

(car

contient une infinité d'entiers strictement positifs )
et par suite

et j'ai deja montrer l'unicité de l'existance chaque entiers dans la suite dans *)
et on a donc

ou chaque entier existe une seule fois dans la suite.

N.B: s'il y a una passage qui n'est pas evident dans ma solution, signale le moi pour l'eclairer

par **yos** » 05 Juil 2007, 20:23

Bien vu aviateurpilote.
On pourrait pas garder

plutôt que

?

par **aviateurpilot** » 05 Juil 2007, 20:29

yos a écrit:Bien vu aviateurpilote.
On pourrait pas garder plutôt que ?

si on peux, mais j'ai fait cette petite transformation pour rendre b_1=0 est simplifier les calcules.
sinon j'aurai

pour un a fixé dans

qui sera

bien sure

par **Imod** » 05 Juil 2007, 23:28

Le 1er message d'aviateurpilot n'est lisible que par bribes sur mon écran ( un vieux 15 pouces ) et mon imprimante coupe toutes les fins de phrases . J'essaierai de revoir tout ça demain ( avant d'insérer des formats pas possible , penser un peu à tous ceux qui ne peuvent pas se permettre de changer d'ordinateur tous les 10 ans ) :triste:

Imod

par **aviateurpilot** » 05 Juil 2007, 23:31

Imod a écrit:Le 1er message d'aviateurpilot n'est lisible que par bribes sur mon écran ( un vieux 15 pouces ) et mon imprimante coupe toutes les fins de phrases . J'essaierai de revoir tout ça demain ( avant d'insérer des formats pas possible , penser un peu à tous ceux qui ne peuvent pas se permettre de changer d'ordinateur tous les 10 ans ) :triste:

Imod

slt Imod, tu veux que je t'envoye ma solution sans [tex] ... [\tex] par un message privé?

par **Imod** » 05 Juil 2007, 23:36

aviateurpilot a écrit:slt Imod, tu veux que je t'envoye ma solution sans [tex] ... [\tex] par un message privé?

Avec plaisir ( mais n'y passe pas la nuit :we: )

Imod

par **aviateurpilot** » 05 Juil 2007, 23:38

Imod a écrit:Avec plaisir ( mais n'y passe pas la nuit :we: )

Imod

lol, :we: , je vais seulement effacer les (...[TEX]..[\tex]) pout toi

par **BiZi** » 06 Juil 2007, 08:11

Oui c'est bien aviateurpilot :we: . J'avais procédé de la même manière sauf que je n'avais pas fait la translation et que à partir de |

|<max(i,j) j'avais aussi considéré pour

et

ce qui donnait

et donc

et de même

Après, on conclut de même qu'aviateurpilot.

Bon, je crois que ca revient à peu près au même :happy2:

par **Imod** » 06 Juil 2007, 09:15

Très belle idée en effet ( et pas si facile ) . Je n'ai pas compris non plus l'utilité de

mais bon , c'est un détail :++:

Imod

par **aviateurpilot** » 06 Juil 2007, 10:27

Imod a écrit:Très belle idée en effet ( et pas si facile ) . Je n'ai pas compris non plus l'utilité de mais bon , c'est un détail :++:

Imod

dans mon raisonnement j'avais utilisé les distances des

de

(

).
alors j'ai rendu

(une translation par

) pour que travaille avec

a la place de

c tout.

j'ai posté ce exo sur mathlinks,
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=156848

par **alben** » 06 Juil 2007, 12:15

Oui, bravo aviateur
j'ai cherché assez longtemps sans succès et n'était arrivé qu'à une majoration plus faible que la tienne qui ne permet pas de conclure.
Comme imod, je trouve tes messages très sophistiqués mais difficiles à lire

par **Imod** » 06 Juil 2007, 23:02

J'aime bien la réponse de mathlink ( comme souvent ) , on ne peut pas lutter contre le monde entier !!!

Encore un site que j'adore ( je vais me faire virer )

Imod

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