Un espace vectoriel particulier....

[newman]

quel est l'espace vectoriel engendré par les matrices nilpotentes?^^

Bonne chance(niveau L2/maths spé)

[Nightmare]

Ker(tr)?

:happy3:

[newman]

Ker(tr)?

:happy3:

Oui..fort ce nightmare!^^

[Nightmare]

A vrai dire j'ai un peu truandé parce que j'ai pas réellement chercher à le prouver ^^

Enfin, je me dis qu'on a une inclusion évidente (nilpotente => trace nulle) et que l'autre devrait s'obtenir facilement avec une décomposition bien choisie.

Je vais y réfléchir pendant l'apéral.

[newman]

Tu dis que l'inclusion est évidente car on connaît le résultat "nilpotente => semblable à une matrice à diagonale nulle"..ou tu as fait autrement sans utiliser ce résultat?

[Matt_01]

Tu peux faire sans passer par ce resultat et dire que les vap d'une matrice nilpotente sont toutes nulles.

[Nightmare]

newman > Cf réponse de Matt_01 pour ta question.

Pour le sens réciproque, c'est plutôt simple après réflexion : Ker(tr) est de dimension n²-1, suffit donc d'exhiber n²-1 matrices nilpotentes qui forment une famille libre, ce qui se fait bien avec les matrices élémentaires.

[newman]

oui ,j'essaye quand même d'établir l'égalité sans argument de dimension(donc démontrer l'inclusion réciproque) ,mais j'avoue que je galère un peu..^^

[Matt_01]

En considérant le fait qu'une matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle, on peut écrire la matrice obtenue comme la somme d'une matrice triangulaire inferieure stricte et d'une autre supérieure stricte : deux matrices nilpotentes.

[newman]

En considérant le fait qu'une matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle, on peut écrire la matrice obtenue comme la somme d'une matrice triangulaire inferieure stricte et d'une autre supérieure stricte : deux matrices nilpotentes.

Ok je vois Merci

[Doraki]

Plus concrètement, on peut dire que
(1 -1)
(1 -1)
est nilpotente, et donc en bougeant ce bloc sur la diagonale et en combinant avec les matrices triangulaires supérieures / inférieures, on obtient bien toutes les matrices de trace nulle.

[Matt_01]

En gros, tu exprimes le fait qu'une matrice de trace nulle est la somme d'une triangulaire inférieure stricte, d'une supérieure stricte et de blocs 2x2 que l'on complètent avec des 0, c'est ca ? (Sinon, ca constitue une autre démo ^^)