Équiproblème

[Lostounet]

Bonjour à tous,

Voici un problème de géométrie qui m'a noyé dans des considérations trigonométriques qui dépassent largement mon niveau !
Une figure (not to scale):



ABC est un triangle équilatéral.
M est un point à l'intérieur de ce triangle, tel que: AM = 3, MB = 4 et MC = 5.

Il faut trouver l'aire du triangle ABC.. Et cela passe donc par la recherche de la longueur d'un coté.. puis en multipliant par 3/4 le carré de c.

Ce que j'ai essayé: (Vous pouvez ne pas lire ce blabla)

J'ai essayé, avec la loi des sinus et Al-Kashi, d'exprimer des angles en fonction des côtés. Je m'explique:
J'ai noté
Et et donc
c est la longueur d'un côté du triangle.

Avec la loi des sinus:
c/sin y = 3/sin x

J'aboutis à l'implication:
Ensuite, on exprime cos y en fonction des côtés, puis on cherche à exprimer cos^2 x et sin^2 x en fonction de c et à la fin, on somme pour trouver 1 (identité trigonométrique). J'ai ainsi trouvé une équation de degré 4 qui admet...
... une infinité de solutions !! -.-
J'ai pu utiliser toutes les données de mon exo (triangle isocèle + angle de 60), les formules que j'ai utilisées semblent donc ne pas être "indépendantes", et n'apportent rien de nouveau...

J'ai aussi essayé d'obtenir un encadrement de c en appliquant successivement la formule de Héron et en évaluant le domaine de définition de la formule. J'ai trouvé que c était compris entre 2 et 7...

Je vous remercie de votre temps!

[Jota Be]

Bonjour à tous,

Voici un problème de géométrie qui m'a noyé dans des considérations trigonométriques qui dépassent largement mon niveau !
Une figure (not to scale):



ABC est un triangle équilatéral.
M est un point à l'intérieur de ce triangle, tel que: AM = 3, MB = 4 et MC = 5.

Il faut trouver l'aire du triangle ABC.. Et cela passe donc par la recherche de la longueur d'un coté.. puis en multipliant par 3/4.


Ce que j'ai essayé: (Vous pouvez ne pas lire ce blabla)

J'ai essayé, avec la loi des sinus et Al-Kashi, d'exprimer des angles en fonction des côtés. Je m'explique:
J'ai noté
Et et donc
c est la longueur d'un côté du triangle.

Avec la loi des sinus:
c/sin y = 3/sin x

J'aboutis à l'implication:
Ensuite, on exprime cos y en fonction des côtés, puis on cherche à exprimer cos^2 x et sin^2 x en fonction de c et à la fin, on somme pour trouver 1 (identité trigonométrique). J'ai ainsi trouvé une équation de degré 4 qui admet...
... une infinité de solutions !! -.-
J'ai pu utiliser toutes les données de mon exo (triangle isocèle + angle de 60), les formules que j'ai utilisées semblent donc ne pas être "indépendantes", et n'apportent rien de nouveau...

J'ai aussi essayé d'obtenir un encadrement de c en appliquant successivement la formule de Héron et en évaluant le domaine de définition de la formule. J'ai trouvé que c était compris entre 2 et 7...

Je vous remercie de votre temps!

Bonjour Lostounet,
tu veux trouver a ?

Il me semble qu'il y a une façon pour exploiter la chose :
tu sais que
Or d'après Al-Kashi, .
Tu fais pareil pour les autres angles et tu devrais trouver a, si je me trompe pas.

Désolé, j'ai du mal avec les balises Latex :hum:
Edit : please, comment fait-on pour mettre les chapeaux ?!!

[Lostounet]

Salut et merci !!

Pourquoi la somme des trois cosinus fait-elle 1?

P.S: Pourquoi tu mets des dollars dans les cosinus? :p

Bon ... je vais me placer dans un cercle trigo pour voir ce qui se passe.

[Jota Be]

Salut et merci !!

Pourquoi la somme des trois cosinus fait-elle 1?

P.S: Pourquoi tu mets des dollars dans les cosinus? :p

ah merde je me suis trompé... le cosinus de la somme des trois angles vaut 1.
Permets-moi d'effacer mon précédent message, je m'en sors pas aujourd'hui.

[Jota Be]

Non, j'efface tout.
Gros blanc, j'ai pas la réponse --'

Désolé

Edit : une petite question tout de même. Est-ce que ?

[Lostounet]

Non, j'efface tout.
Gros blanc, j'ai pas la réponse --'

Désolé

Non non, attend. Si tu veux, on réfléchit ensemble!

cos(x + y + z) = 1







Et on sait que:
cos(x + y + z) = cos(x) cos(y) cos(z) - sin(x) sin(y) cos(z) - sin(x) cos(y) sin(z) - cos(x) sin(y) sin(z)

Si on remplace les cos par leurs valeurs, on peut exprimer les sinus des angles en fonction de c... Et ensuite?

[Jota Be]

Non non, attend. Si tu veux, on réfléchit ensemble!

cos(x + y + z) = 1







Et on sait que:
cos(x + y + z) = cos(x) cos(y) cos(z) - sin(x) sin(y) cos(z) - sin(x) cos(y) sin(z) - cos(x) sin(y) sin(z)

...?

Je ne connaissais pas cette formule mais elle est pas mal !
Je vais voir ce que je peux faire à la factorisation =)

Hmmm... non, je pense que ça va être inélégant de se jeter dans de gros calculs.
Il y a une autre chemin. Réfléchissons

[manoa]

Edit : une petite question tout de même. Est-ce que ?

Salut,

contre exemple : cos(a+b) \= cosa +cosb

[Jota Be]

Salut,

contre exemple : cos(a+b) \= cosa +cosb

oui :/ chuis bête. Grmmbllrlrlr ça m'énerve

[Lostounet]

Lol, vu que j'arrive même pas à résoudre ce problème, tant pis si la solution n'est pas très élégante :P

[Nightmare]

Hello,

plusieurs pistes :

1) Passer en géo. analytique, on arrive rapidement à la valeur du côté du triangle équilatéral.

2) Découper la figure et réarranger les morceaux de sorte à ce que les "longueurs intérieures" deviennent des longueurs de côté d'une figure bien connue. En l'occurrence, en dupliquant la figure, en la coupant et en réarrangeant les morceaux, on peut arriver à un tétraèdre.

[Lostounet]

Salut Night et merci !

Je vais essayer de passer en géométrie analytique. Mais ta deuxième méthode m'intrigue !
(mais je ne suis pas sûr d'avoir tout compris...)

Thanks again!

[Nightmare]

Je suis pas tout à fait sûr pour la deuxième qu'on puisse arriver au bout, j'attends d'avoir un papier et un stylo pour vérifier parce que faire du découpage collage de tête c'est pas terrible.

[Lostounet]

D'accord.

Et juste une petite question, on ne peut pas s'en sortir avec la trigo "de base" ?

[Nightmare]

Si sûrement, avec du Al-Kashi. Je vais y réfléchir.

[Doraki]

J'ai ainsi trouvé une équation de degré 4 qui admet... ... une infinité de solutions !! -.-

je demande à voir.

J'ai aussi essayé d'obtenir un encadrement de c en appliquant successivement la formule de Héron et en évaluant le domaine de définition de la formule. J'ai trouvé que c était compris entre 2 et 7...

Plus simplement, tu peux utiliser l'inégalité triangulaire.
il y a un triangle de cotés 3,4,C, donc C = 2.

[Lostounet]

je demande à voir.

Plus simplement, tu peux utiliser l'inégalité triangulaire.
il y a un triangle de cotés 3,4,C, donc C = 2.

C'est mieux !

Je vais détailler ma méthode (qui ne marche pourtant pas):

En reprenant les notations de mon post précédent,
On a:





D'après la loi des sinus,

Donc on en déduit que:

Alors:


Comme j'ai déjà cos^2 y, je déduis que:


En réduisant, simplifiant et isolant sin^2x, je trouve:


Or j'ai déjà cos^2 x (voir plus haut), donc je déduis que:



Cette méthode n'est pas bonne car je pense qu'elle utilise la même information plusieurs fois, ce qui fait qu'en simplifiant l'équation obtenue, on trouve un 0 = 0 ...
Ce que j'ai fait n'a pas de sens... :/

[Dlzlogic]

Bonjour,
Voila la méthode que je propose.
Le triangle équilatéral à construire est le triangle ABC.
Soit le triangle DEF rectangle en D, dont les côtés mesurent 3, 4 et 5. Quels que soit les noms des sommets, en math, le nom d'un objet ou d'une variable ne sert qu'à le nommer.
Préalable D est le symétrique de M par rapport à AC, resp E par rapport à AB et F par rapport à BC.
Doit I le milieu de EF. Le point B appartient à la médiatrice de EF, resp. A à la médiatrice de DE et C à la médiatrice de EF.
Soit un point A quelconque provisoire sur sa droite et le point C correspondant. Le point M est le symétrique de D par rapport à AC (AD = AM) . A partir de M il suffit de tracer les points A, b et C, sur leur droite, respectivement à une distance de 3, 4 et 5.
Le triangle ABC étant construit, il est facile de calculer la longueur "a" de son côté.

[Doraki]

Soit a = AM², b = BM², c = CM², x = coté².

b = (BA+AM).(BA+AM) = x+a+ 2BA.AM
c = (CA+AM).(CA+AM) = x+a+ 2CA.AM

soit y,z les deux nombres tels que AM = 2(yBA+zCA).
Comme BA.BA = x et BA.CA = x/2,
les deux équations donnent :

b = x+a+4x(y+z/2) et c = x+a+4x(y/2+z),
d'où on tire 6xy = -a+2b-c-x et 6xz = -a-b+2c-x

En outre, a = AM² = y(2BA.AM)+z(2CA.AM) = y(b-x-a)+z(c-x-a).
Donc 6xa = (-a+2b-c-x)(b-x-a) + (-a-b+2c-x)(c-x-a)
= a²+2b²-3ab+ac-bc+2ax-3bx+cx+x² + la même chose en échangeant b et c
= 2(a²+b²+c²-ab-ac-bc+2ax-bx-cx+x²),

donc x²-x(a+b+c)+(a²+b²+c²-ab-ac-bc) = 0.
(c'est marrant, échanger x avec a,b,c ne change pas l'équation)


Nous on a, a,b,c = 9,16,25, donc l'équation devient x²-50x+193 = 0.
;) = 1728 = 2^6 * 3^3, donc x = 25+-12sqrt(3). (donc le coté mesure un peu plus que 2 ou un peu moins que 7)

L'aire vaut x*(sqrt3 /2) = (25sqrt(3)+-36)/2.

[Zweig]

Et on sait que:
cos(x + y + z) = cos(x) cos(y) cos(z) - sin(x) sin(y) cos(z) - sin(x) cos(y) sin(z) - cos(x) sin(y) sin(z)

Je ne pense pas. La formule connue est plutôt



pour x, y et z des réels quelconques (par forcément les angles d'un triangle) et cette dernière ne m'a pas l'air équivalente avec la tienne ...