Equilibre et Mouvement d'un ludion

[Black Jack]

Analyse très correcte. Je pense qu'il faut revoir les équations comme suit

Pression élastique : (0,6-0,5)/(2-0,6) = 0,1/1,4 = 0,0714
(Le dénominateur (2-V) dans la pression élastique signifie que la limite d'élasticité est atteinte lorsque le volume approche 2 dm3. Le ballon explose bien avant.)

P. interne = 2,5 kg/cm² = Pression élastique +Pression atmosphérique + Pression hydrostatique.
Je trouve une position d'équilibre à 14,29 m.

Oui, je corrige mes distractions :

A pression atmosphérique externe (1 kg/cm²):
V = 1dm³
P interne gaz = 1 + ((V-Vo)/(2-V)= 1,5 kg/cm²

Si V passe à 0,6 dm³ (pour équilibre) :
P interne gaz = 1,5 * 1/0,6 = 2,5 kg/cm²
Pression élastique : (0,6-0,5)/(2-0,6) = 0,1/1,4 = 0,0714 kg/cm²
Pression externe = 2,5 - 0,0714 = 2,429 kg/cm²
Pression hydrostatique: 2,429 - 1 = 1,429 kg/cm²
Profondeur d'équilibre : 14,29 m

... Avec évidemment des unités bancales qui feront frémir les puristes.


:zen:

[Black Jack]

Ce n'est pas sain de manipuler des unités bancales, cela pousse à confondre masse et poids et à avoir des unités de pression (kg/cm²) qui n'en sont pas vraiment et ...

Je fais la suite avec ces unités bancales, avec tous les risques qui vont avec.

La force de frottement faisant partie de l'énoncé (R = 0,8 * ...), je ne vois pas à quoi rime les différents "k" des dessins ...
il est déterminé par l'énoncé ... et variable en cours de remontée.

Pression hydrostatique à une profondeur h (en dm) : P(h) = h/100 (kg/cm²)

Pression interne dans le ballon : Pi(h) = 1 + h/100 + (V-Vo)/(2-V)
Pi(h) = 1 + h/100 + (V-0,5)/(2-V)

Or Pi.V = cte = 1,5 * 1 = 1,5

[1 + h/100 + (V-0,5)/(2-V)]*V = 1,5

V(h) = 50.[3 + 0,02*h - racinecarrée(9 + 4.10^-4*h²)]/h

V(h) = [150 + h - 50.V(9 + 4.10^-4*h²)]/h

Poussée Archimède = 1 * [150 + h - 50.racinecarrée(9 + 4.10^-4*h²)]/h (avec h en dm et Poussée en kg(force évidemment))

Force vers le haut :

F = [150 + h - 50.racinecarrée(9 + 4.10^-4*h²)]/h - Poids - force frottement.
,
F(h) = [150 + h - 50.racinecarrée(9 + 4.10^-4*h²)]/h - 0,6 - 0,8.vitesse signée * V^(3/2)

Avec F en Newton : F = g[(150 + h - 50.racinecarrée(9 + 4.10^-4*h²))/h - 0,6 - 0,8 * vitesse signée * ((150 + h - 50.V(9 + 4.10^-4*h²))/h)^(3/2)]

accélération (en m/s²) = - g[(150 + h - 50.racinecarrée(9 + 4.10^-4*h²))/h - 0,6 + 0,8 * 0,1 * dh/dt * ((150 + h - 50.V(9 + 4.10^-4*h²))/h)^(3/2)]/0,6

accélération (en m/s²) = - 1,67 * g * [(150 + h - 50.racinecarrée(9 + 4.10^-4*h²))/h - 0,6 + 0,08 * dh/dt * ((150 + h - 50.V(9 + 4.10^-4*h²))/h)^(3/2)]

d²h/dt² = - 164 * [(150 + h - 50.racinecarrée(9 + 4.10^-4*h²))/h - 0,6 + 0,08 * dh/dt * ((150 + h - 50.V(9 + 4.10^-4*h²))/h)^(3/2)]

avec h (la profondeur) en dm, t en s

Par résolution numérique, on arrive à ceci :



La courbe du haut avec frottement nul. (juste pour voir)

La courbe du bas, avec les frottements imposés par l'énoncé. (et donc conforme à l'équation d²h/dt² = - 164 * [(150 + h - 50.racinecarrée(9 + 4.10^-4*h²))/h - 0,6 + 0,08 * dh/dt * ((150 + h - 50.V(9 + 4.10^-4*h²))/h)^(3/2)])

Attention, les ordonnées représentent la profondeur ... et donc si on veut des courbes qui ressemblent aux tiennes, il faut "renverser" les courbes "haut-bas".

Toutes erreurs incluses, évidemment.

:zen:

[hammana]

Ce n'est pas sain de manipuler des unités bancales, cela pousse à confondre masse et poids et à avoir des unités de pression (kg/cm²) qui n'en sont pas vraiment et ...

Je fais la suite avec ces unités bancales, avec tous les risques qui vont avec.

La force de frottement faisant partie de l'énoncé (R = 0,8 * ...), je ne vois pas à quoi rime les différents "k" des dessins ...
il est déterminé par l'énoncé ... et variable en cours de remontée.

Pression hydrostatique à une profondeur h (en dm) : P(h) = h/100 (kg/cm²)

Pression interne dans le ballon : Pi(h) = 1 + h/100 + (V-Vo)/(2-V)
Pi(h) = 1 + h/100 + (V-0,5)/(2-V)

Or Pi.V = cte = 1,5 * 1 = 1,5

[1 + h/100 + (V-0,5)/(2-V)]*V = 1,5

V(h) = 50.[3 + 0,02*h - racinecarrée(9 + 4.10^-4*h²)]/h

V(h) = [150 + h - 50.V(9 + 4.10^-4*h²)]/h

Poussée Archimède = 1 * [150 + h - 50.racinecarrée(9 + 4.10^-4*h²)]/h (avec h en dm et Poussée en kg(force évidemment))

Force vers le haut :

F = [150 + h - 50.racinecarrée(9 + 4.10^-4*h²)]/h - Poids - force frottement.
,
F(h) = [150 + h - 50.racinecarrée(9 + 4.10^-4*h²)]/h - 0,6 - 0,8.vitesse signée * V^(3/2)

Avec F en Newton : F = g[(150 + h - 50.racinecarrée(9 + 4.10^-4*h²))/h - 0,6 - 0,8 * vitesse signée * ((150 + h - 50.V(9 + 4.10^-4*h²))/h)^(3/2)]

accélération (en m/s²) = - g[(150 + h - 50.racinecarrée(9 + 4.10^-4*h²))/h - 0,6 + 0,8 * 0,1 * dh/dt * ((150 + h - 50.V(9 + 4.10^-4*h²))/h)^(3/2)]/0,6

accélération (en m/s²) = - 1,67 * g * [(150 + h - 50.racinecarrée(9 + 4.10^-4*h²))/h - 0,6 + 0,08 * dh/dt * ((150 + h - 50.V(9 + 4.10^-4*h²))/h)^(3/2)]

d²h/dt² = - 164 * [(150 + h - 50.racinecarrée(9 + 4.10^-4*h²))/h - 0,6 + 0,08 * dh/dt * ((150 + h - 50.V(9 + 4.10^-4*h²))/h)^(3/2)]

avec h (la profondeur) en dm, t en s

Par résolution numérique, on arrive à ceci :



La courbe du haut avec frottement nul. (juste pour voir)

La courbe du bas, avec les frottements imposés par l'énoncé. (et donc conforme à l'équation d²h/dt² = - 164 * [(150 + h - 50.racinecarrée(9 + 4.10^-4*h²))/h - 0,6 + 0,08 * dh/dt * ((150 + h - 50.V(9 + 4.10^-4*h²))/h)^(3/2)])

Attention, les ordonnées représentent la profondeur ... et donc si on veut des courbes qui ressemblent aux tiennes, il faut "renverser" les courbes "haut-bas".

Toutes erreurs incluses, évidemment.

:zen:

J'admire ta virtuosité de calcul.
J'ai dressé les courbes pour différentes valeurs du frottement pour voir leur influence. Si on négligeait le frottement, le ballon "filerait" comme tu dis à la vitesse de 9 m/s, ce qui est inconcevable.

Pourrais-tu nous détailler un peu plus le travail qu'implique le terme "Par résolution numérique, on arrive à ceci :", avec mes remerciements

[Black Jack]

J'admire ta virtuosité de calcul.
J'ai dressé les courbes pour différentes valeurs du frottement pour voir leur influence. Si on négligeait le frottement, le ballon "filerait" comme tu dis à la vitesse de 9 m/s, ce qui est inconcevable.

Pourrais-tu nous détailler un peu plus le travail qu'implique le terme "Par résolution numérique, on arrive à ceci :", avec mes remerciements

Une fois l'équation différentielle établie, soit : d²h/dt² = - 164 * [(150 + h - 50.racinecarrée(9 + 4.10^-4*h²))/h - 0,6 + 0,08 * dh/dt * ((150 + h - 50.V(9 + 4.10^-4*h²))/h)^(3/2)]


On peut se servir d'un tableur (type Excel ou autre)

on fait des colonnes pour : le temps, h , h' , h''

Dans la première ligne, on écrit les conditions initiales (t = 0, h = 140 (dm), h' = 0) et on calcule h'' par l'équation (donc en se servant des valeurs de h et h')

Dans la ligne 2, on augmente le temps d'une valeur très petite delta t et on cacule h' par le h' précédent + h'' * delta t ; et on calcule le h par le h précédent + h'*delta t.
... Et on se sert de cela pour calculer le h'' correspondant à cet instant.

On "tire" la ligne 2 vers le bas ... et donc on recommence ces mêmes calculs (ou plutôt c'est le tableur qui les faits) pour chaque fois une temps un poil plus grand.

Il faut bien entendu prendre garde de choisir delta t < < que les constantes de temps physique du système.

Et une fois cela fait ... on crée (par le tableur) l'affichage de h(t).

Cela ressemble à ceci :




Juste une remarque, la force de frottement donnée dans l'énoncé, soit R = 0.8*y’*V^(3/2), me semble fantaisiste.

Voir la loi de Stokes, par exemple ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Stokes

:zen:

[hammana]

Une fois l'équation différentielle établie, soit : d²h/dt² = - 164 * [(150 + h - 50.racinecarrée(9 + 4.10^-4*h²))/h - 0,6 + 0,08 * dh/dt * ((150 + h - 50.V(9 + 4.10^-4*h²))/h)^(3/2)]


On peut se servir d'un tableur (type Excel ou autre)

on fait des colonnes pour : le temps, h , h' , h''

Dans la première ligne, on écrit les conditions initiales (t = 0, h = 140 (dm), h' = 0) et on calcule h'' par l'équation (donc en se servant des valeurs de h et h')

Dans la ligne 2, on augmente le temps d'une valeur très petite delta t et on cacule h' par le h' précédent + h'' * delta t ; et on calcule le h par le h précédent + h'*delta t.
... Et on se sert de cela pour calculer le h'' correspondant à cet instant.

On "tire" la ligne 2 vers le bas ... et donc on recommence ces mêmes calculs (ou plutôt c'est le tableur qui les faits) pour chaque fois une temps un poil plus grand.

Il faut bien entendu prendre garde de choisir delta t < < que les constantes de temps physique du système.

Et une fois cela fait ... on crée (par le tableur) l'affichage de h(t).

Cela ressemble à ceci :




Juste une remarque, la force de frottement donnée dans l'énoncé, soit R = 0.8*y’*V^(3/2), me semble fantaisiste.

Voir la loi de Stokes, par exemple ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Stokes

:zen:

Bien reçu, Merci!

J'ai vu le bon usage qu'on peut faire d'Excel.

En ce qui concerne la force de frottement je n'ai trouvé aucun document dont je puisse tirer des valeurs numériques. J'ai choisi une formule qui conduise à une vitesse d'ascension raisonnable

[Black Jack]

Ce qui m'interpelle est le "R = 0.8*y’*V^(3/2)"

On voit que le frottement est proportionnel à la vitesse (y'), on est donc dans le cas de la loi de Stokes ... Mais ce ne peut être vrai que si le nombre de Reynolds est petit.



En tout cas inférieur à 100, même en faisant une grosse approximation (voir sur le diagramme donnant le Cx en fonction du nombre de Reynolds).

On a le nombre de Reynolds : Re = Rho * (L/µ) * v (voir ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Reynolds)

Pour l'eau: Rho = 1000 kg/m³ et µ = 10^-3 Pa.s

L est (pour une sphère) le diamètre. (ici , il varie mais l'orde de grandeur est 0,1 m)

On a donc environ : Re = 10^5 * v

Pour que Re = 100, il faudrait : v = 100/11^5 = 10^-3 m/s

Donc dès que la vitesse dépasse 1 mm/s, on n'est plus dans la loi de stokes ...

Et donc, dès que la vitesse dépasse 1 mm/s (donc presque sur tout le mouvement) on se retrouve dans une loi de force de frottement proportionnel au cérré de la vitesse.
****
2 eme chose qui me turlupine dans la formule.

Le maître couple pour une sphère de rayon R est S = Pi.R²

Mais Volume: V = (4/3).Pi.R³ --> R = k1.(V)^(1/3)

Et donc S = K2.(V)^(2/3) ... et certainement pas proportionnel à V^(3/2) comme indiqué dans l'énoncé.

Pour moi la force de frottement à prendre en considération (bien qu'on soit dans l'eau) est dans le cas de l'exercice est de la forme : R = k.y'.(V)^(2/3)

Et on peut estimer la valeur de k.

F = (1/2).Rho*Cx*S*v² avec Cx = 0,5 (car on est, par le Re dans la partie presque plate horizontale de la courbe)

F = (1/2)*1000*0,5*Pi*R²*vit²

F = 785 * R² * vit²

Avec Vol : V = (4/3).Pi*R³ --> R = (3Pi.V/4)^(1/3)

F = 785 * (3 * V/(4Pi))^(2/3) * vit²

F = 302 * V^(2/3) * vit²

Avec F en N ,V en m³ et vit en m/s

Si on remet V en dm³ et F en kgf, on aurait : F = (1/9,81) 302 * (1/1000)^(2/3) * V^(2/3) * vit²
F = 0,31.V^(2/3) * vit²
(Avec F (la force de frottement) en kgf ; V en dm³ et vit en m/s)
*****
Toutes erreurs incluses.

[hammana]

Ce qui m'interpelle est le "R = 0.8*y’*V^(3/2)"

On voit que le frottement est proportionnel à la vitesse (y'), on est donc dans le cas de la loi de Stokes ... Mais ce ne peut être vrai que si le nombre de Reynolds est petit.



En tout cas inférieur à 100, même en faisant une grosse approximation (voir sur le diagramme donnant le Cx en fonction du nombre de Reynolds).

On a le nombre de Reynolds : Re = Rho * (L/µ) * v (voir ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Reynolds)

Pour l'eau: Rho = 1000 kg/m³ et µ = 10^-3 Pa.s

L est (pour une sphère) le diamètre. (ici , il varie mais l'orde de grandeur est 0,1 m)

On a donc environ : Re = 10^5 * v

Pour que Re = 100, il faudrait : v = 100/11^5 = 10^-3 m/s

Donc dès que la vitesse dépasse 1 mm/s, on n'est plus dans la loi de stokes ...

Et donc, dès que la vitesse dépasse 1 mm/s (donc presque sur tout le mouvement) on se retrouve dans une loi de force de frottement proportionnel au cérré de la vitesse.
****
2 eme chose qui me turlupine dans la formule.

Le maître couple pour une sphère de rayon R est S = Pi.R²

Mais Volume: V = (4/3).Pi.R³ --> R = k1.(V)^(1/3)

Et donc S = K2.(V)^(2/3) ... et certainement pas proportionnel à V^(3/2) comme indiqué dans l'énoncé.

Pour moi la force de frottement à prendre en considération (bien qu'on soit dans l'eau) est dans le cas de l'exercice est de la forme : R = k.y'.(V)^(2/3)

Et on peut estimer la valeur de k.

F = (1/2).Rho*Cx*S*v² avec Cx = 0,5 (car on est, par le Re dans la partie presque plate horizontale de la courbe)

F = (1/2)*1000*0,5*Pi*R²*vit²

F = 785 * R² * vit²

Avec Vol : V = (4/3).Pi*R³ --> R = (3Pi.V/4)^(1/3)

F = 785 * (3 * V/(4Pi))^(2/3) * vit²

F = 302 * V^(2/3) * vit²

Avec F en N ,V en m³ et vit en m/s

Si on remet V en dm³ et F en kgf, on aurait : F = (1/9,81) 302 * (1/1000)^(2/3) * V^(2/3) * vit²
F = 0,31.V^(2/3) * vit²
(Avec F (la force de frottement) en kgf ; V en dm³ et vit en m/s)
*****
Toutes erreurs incluses.

Il est vrai que je n'ai pas fait l'effort qu'il faut pour pour trouver une expression plus correcte de la résistance hydrodynamique. Pour l'expression du maître couple, j'ai écrit V^(3/2) mais j'avais bien 2/3 en tête (mon prof de math disait qu'un mathématicien pense "a", écrit "b", dit"c", alors que c'est "d" qu'il faut. Je n'en suis là, étant seulement un utilisateur des mathématiques).

Je propose aussi de mettre un exposant 2/3 dans l'expression de la pression élastique puisque c'est la surface qui s'étire.

J'ai voulu dans cet exercice surtout étudier l'allure du mouvement à partir d'une position proche de l'équilibre instable, et tester différentes méthodes de résolution numérique des équations différentielles. Je vais refaire les calculs dans en partant des nouvelles hypothèses, en particulier, dans l'hypothèse où le ballon est lâché à 1 cm au dessus de sa position d'équilibre.