Equations du second degré à trois inconnues

[EMan]

Bonjour,

Je cherche à déterminer les valeurs de x, y et z sachant que ce sont trois entiers naturels.
J'ai les équations suivantes (je n'ai pas réussi à utiliser l'éditeur d'équation donc je mets les équations de manière "brute".)

x+y+z=14
x^2+y^2+z=76
y^2+z^2+x=36
x^2+z^2+y=58

En testant toutes les possibilités (pour x, y et z de 0 à 14), la seule solution est (7; 5; 2) (soit x=7, y=5, z=2).
Toutefois, je n'ai pas trouvé comment démontrer cette solution.
J'ai essayé de remplacer x (ou y ou z) par 14-y-z dans une des équations et de combiner les équations, mais je ne suis pas parvenu à isoler une des trois inconnues (je me retrouve avec du y*z...)

Pourriez-vous m'aider ?

Cordialement,
EMan.

[leon1789]

Salut,
Pour avoir une réponse adaptée, il faudrait que tu nous précises à quel niveau d'étude tu es.

[EMan]

Je suis en terminale S (ma question ne concerne pas un devoir scolaire, je me demandais simplement comment résoudre ces équations).

[Black Jack]

Salut,

Par exemple ainsi (sans besoin de connaissances particulières) :

x+y+z=14
x^2+y^2+z=76
y^2+z^2+x=36
x^2+z^2+y=58

x = 14-y-z
(14-y-z)^2+y^2+z=76
y^2+z^2+14-y-z=36
(14-y-z)^2+z^2+y=58

196+y²+z²-28y-28z+2yz+y^2+z=76
y^2+z^2+14-y-z=36
196+y²+z²-28y-28z+2yz+z^2+y=58

196+2y²+z²-28y-28z+2yz+z=76 (1)
y^2+z^2+14-y-z=36 (2)
196+y²+2z²-28y-28z+2yz+y=58 (3)

(1) - (3) -->
y²-z²+z-y=18 (4)
y²+z²+14-y-z=36 (2)

(4) - (2) --->
-2z²-14+2z=-18
2z²-2z-4 = 0
z²-z-2 = 0 --> z = 2

dans(4) --> y² - 4 + 2 - y = 18
y² - y - 20 = 0 --> y = 5

et x = 14-y-z = 14 - 2 - 5 = 7

[EMan]

Merci beaucoup, c'est que je voulais.
J'étais sur la bonne voie mais je m'étais arrêté trop tôt dans le raisonnement.

[Ben314]

Salut,

Vu que tu cherche des solutions entières positives, a mon sens, tu peut aussi essayer d'utiliser les "outil classiques" de l’arithmétique, plus précisément la notion de divisibilité :
Si tu fait l'équation (4) moins la (3) [pour virer les ] tu obtient qui se factorise gentiment en ce qui, vu les diviseur de 22 et le fait que laisse peu de choix :
- Soit et
- Soit et

[mathelot]

une autre méthode:



on additionne les trois dernières égalités du système:




la deuxième égalité donne




la troisième égalité donne:




la quatrième égalité donne: