Equation

[chan79]

Sujet Olympiades Niveau 1S (ne pas donner la réponse trop vite)
Résoudre l'équation

[DamX]

Ca ne se bouscule pas au portillon ici, pourtant c'est un problème en or ! :lol3:

[qelmcpc]

On a: 1/x = x-1
ça donne comme solution (1+sqrt(5)) /2 ou (1-sqrt(5)) /2
C'est ça?

[Ben314]

On a: 1/x = x-1
ça donne comme solution (1+sqrt(5)) /2 ou (1-sqrt(5)) /2
C'est ça?

Oui, la solution, c'est bien ça, mais il faudrait expliquer d'où tu sort ton équation 1/x = x-1 qui est tout sauf une déduction "immédiate" de l'énoncé.

[qelmcpc]

Bah on a x = 1 + 1/(1+1/(1+....))) a l'infini vu que a chaque fois on remplace le x de droite en bas par tout ce qui est en haut de lui
Donc 1/x = 1/(1+1/(1+...)))) = x - 1

[chan79]

Bah on a x = 1 + 1/(1+1/(1+....))) a l'infini vu que a chaque fois on remplace le x de droite en bas par tout ce qui est en haut de lui
Donc 1/x = 1/(1+1/(1+...)))) = x - 1

Le nombre d'or et son conjugué vérifient l'équation puisque cette équation équivaut à .
Dans l'équation donnée, si on remplace par , il y a bien égalité puisqu'en remplaçant par 29 fois de suite en commençant par le bas, on arrive à et même chose pour .
Mais ne pourrait-il pas y avoir d'autres solutions ?

[Ben314]

Bah on a x = 1 + 1/(1+1/(1+....))) a l'infini vu que a chaque fois on remplace le x de droite en bas par tout ce qui est en haut de lui
Donc 1/x = 1/(1+1/(1+...)))) = x - 1

1) "l'infini" n'est pas quelque chose de "banal" dont on peut parler sans expliciter précisément ce que l'on entend par là, i.e. sans donner une définition précise de ce que cela signifie dans le contexte présent. Sans cette précaution là, tu va obtenir des tonnes de trucs totalement absurdes en quelques lignes.
Ici, par exemple, on pourrait considérer que sa signifie la limite lorsque n tend vers +oo de la fraction avec n "niveaux", sauf que, évidement, avant de manipuler cette limite, ben il faudrait commencer par justifier qu'elle existe, ce qui, dans le cas présent, est vrai, mais c'est tout sauf une "évidence" (essaye de le démontrer pour voir).
Si on modifiait légèrement la tête des fractions en question, on pourrait facilement avoir un truc qui n'admet pas de limite lorsque le nombre de niveaux tend vers l'infini et et faisant comme si la limite existait, tu tomberais très vite sur une belle contradiction (qui, évidement, prouverais de façon détourné que la limite en question n'existe pas)

2) Dans l'énoncé, il n'y a pas "une infinité" de niveaux mais seulement 29.