équation paramétrique d'une droite en coordonnées spherique

[fesssstif]

Je vais vous exposer un problème sur lequel je travaille depuis quelques jours :
soit un repère sphérique O(thêta, phi, r)
avec -pi < thêta <= pi
-pi/2 < phi <= pi/2
0 <= r < +infini
dans lequel se trouve un point M ayant pour coordonnées (thêta0, phi0, r0) dans O

Q: quelle est l'équation paramétrique de la droite D dans O passant par le point M
et avec un angle thêta1 et phi1 par rapport à OM
(si thêta1 = phi1 = 0, la droite est confondue avec OM)
pour faciliter les chose, on pose P(t) un point de D tel que [MP] = t
que valent thêta, phi et r, les coordonnées du point P dans O en fonction de t et des constantes thêta0, phi0, r0, thêta1, phi1 ?

j'ai essayé de résoudre le problème en prenant un repère polaire en 2D mais je suis un peu rouillé en calcul et je n'arrive pas à trouver le résultats même si je pense avoir la bonne méthode.
De plus il est difficile de vérifier si le résultat est bon.
(une erreur de calcul dans la vérification et on pense s’être tromper alors qu'on tient la solution :/)

Voila, si quelqu'un trouve la solution ou propose des pistes intéressantes pour résoudre ce problème je l'invite à poster ici !
PS : désolé pour les fautes d'orthographes, j'ai corrigé celles que je voyais mais je suis loin d’être un expert en la matière...

[Dlzlogic]

Bonjour,
Je découvre ce sujet aujourd'hui. Je n'ai pas tout lu en détail, mais il s'agit de trigonométrie sphérique.
Indépendamment de cela, je n'imagine pas très bien ce que pourrait être l'équation d'une droite dans ce contexte.
Si c'est un exercice, je veux bien vous aider, si c'est dans un contexte autre que universitaire, aussi, naturellement, mais il me faudrait tous les détails.

[fesssstif]

J'ai essayé de formuler le problème de manière rigoureuse, mais pour simplifier et prendre un cas concret qui serait plus simple à comprendre et à expliquer, le problème peut être poser de la manière suivante :
prenons un observateur qui soit sur la planète terre, il possède une longitude, une latitude et une hauteur par rapport au centre (r, thêta et phi),
cet observateur regarde dans une certaine direction selon un certain angle (thêta1 et phi1),
à une distance t de cet observateur se trouve un obstacle.
Quelle est la position (latitude, longitude et altitude) du point observé ?
de là en faisant varier t, on trouve l’équation de la droite.

J'ai obtenu un résultat en faisant le calcul en 2 dimension et en utilisant les équations basiques de trigonométrie mais je ne suis pas sur de ce résultat car j'ai du mal à le vérifier pour toutes les valeurs des angles (à cause notamment des signes qui changent selon les bornes des angles etc.).

Je pense que cette approche est plus clair pour visualiser le problème.

Sinon c'est un problème que je me suis posé moi même, considérant cela comme un défi personnel j'ai pensé que c’était la meilleur catégorie pour poster. Bien qu'après un rapide tour je constate que ce n'est pas le genre de défi dont sont friands les internautes de cette section ^^

[Dlzlogic]

Bonjour,
C'est un problème que je connais bien, et à la première lecture, je me suis un peu douté qu'il s'agissait de cela.
Par question que je fasse un cours complet, mais je vais essayer de donner quelques indications.
1- supposons que la terre soit ronde, dans ce cas, on applique les formules de trigonométrie sphérique. Ce n'est pas beaucoup plus compliqué que la trigonométrie plane, le principe général est que les longueurs sont exprimées en angles.
2- la terre n'est pas sphérique mais c'est une ellipsoïde. Là, ça devient plus compliqué, même beaucoup plus compliqué. Si on s'intéresse à des distances pas trop grandes (moins de 200 km de mémoire), on a des formules simplificatrices.

Dans ce contexte, on ne parle par d'équation de droite, d'abord, il n'y a pas de droite, et surtout on ne peut pas faire autrement que de rester dans un système de coordonnées polaires. Si on veut travailler en plan, on fait une projection, mais là c'est un tout autre problème.

Depuis l'utilisation du GPS, les coordonnées géographiques sont considérées comme un "truc normal". Mais c'est pas plus simple qu'avant. Les logiciels qui calculent cela sont très puissants et font appel à des connaissances mathématiques de très haut niveau (que je n'ai pas :cry: ).

Mais je vous donnerai toutes les informations qui pourraient vous intéresser.

A la seconde lecture, j'ai vu que vous faisiez aussi intervenir l'angle zénithal. Généralement, les problèmes d'altimétrie sont traitées indépendamment.
Là il y a un autre problème, qu'on appelle l'erreur de niveau apparent (ena pour les intimes). Il faut le traiter indépendamment.

[fesssstif]

J'ai utiliser l'exemple de la terre afin de mieux visualiser le problème, mais ça reste une façon de le représenter, le fait que la terre ne soit pas parfaitement sphérique n'est pas important.

Ensuite je pense m’être mal exprimé, je ne cherche pas à calculer une droite à la surface d'une sphère (ce qui sera faisable en trigonométrie sphérique), mais une droite non courbé dans un repère en coordonnée sphérique.

Dans mon exemple, on peut prendre l'observateur à une altitude comme 2 fois le rayon de la terre (par exemple), la droite n'est clairement plus à la surface de la terre.

La principale difficulté vient d'une part de la 3ème dimension, et d'autre part du paramétrage qui n'est pas usuel, on prend souvent t=0 pour le point de la droite le plus proche du centre du repère.

[Dlzlogic]

Bon, d'accord, là ce n'est plus dans mes capacités.
S'il s'agit d'un problème purement théorique de géométrie cartésienne en 3D, fixez-vous un repère 3D, je crois que c'est vraiment le plus simple.

[fesssstif]

Le problème du repère cartésiens vient d'une part du paramétrage de la droite à tracer donné en angle, et d'autre part que tout l’intérêt du problème est de trouver l’équation de la droite en coordonnées sphérique...

Je vais essayer d’écrire les paramètres de la droite pour une droite dans un repère cartésiens, de là une fois l’équation (cartésienne) de la droite établie, je pourrai faire un changement de repère via des formules facilement trouvable sur wikipedia.

Je te remercie Dlzlogic pour ton aide :)

[Dlzlogic]

Là, l'intérêt m'échappe un peu.
L'équation d'une droite en coordonnées sphérique est (en gros) alpha = Cste.

[fesssstif]

si par alpha tu entends la coordonné "angle" de la droite, ce n'est valable que si la droite passe par le centre, or ce n'est pas le cas ici.
Je vais essayer de poster un dessin pour le cas en 2D (coordonnées polaires)

[Dlzlogic]

si par alpha tu entends la coordonné "angle" de la droite, ce n'est valable que si la droite passe par le centre, or ce n'est pas le cas ici.
Je vais essayer de poster un dessin pour le cas en 2D (coordonnées polaires)

Oui, c'est vrai, pardon.