Équation fonctionnelle

[Matt_01]

Bonjour,

Existe-t-il une fonction f strictement croissante, définie de R dans R, telle que f'=fof ?

[radoude]

Bonjour

L'énoncé signifie-t-il que dom f(x) =R et que Im f(x)=R?

[Sourire_banane]

Salut,

Bonjour

L'énoncé signifie-t-il que dom f(x) =R et que Im f(x)=R?

?
Qu'entends-tu par dom ? f est-elle forcément polynômiale ?

Oui, on restreint et on corestreint f à R.

[radoude]

Bonjour

L'énoncé signifie-t-il que dom f(x) =R et que Im f(x)=R?

Si oui ("définie de R dans R") alors la réponses est non

En effet, il faut f'(x)=f(f(x))>=0 pour tout x.
Or f(x) "parcourt" tous les réels et donc f(f(x)) aussi.
f(f(x)) ne peut donc pas être positif ou nul pour tout x.

J'espère ne pas avoir raconté n'importe quoi.

[radoude]

Salut,

?
Qu'entends-tu par dom ? f est-elle forcément polynômiale ?

Oui, on restreint et on corestreint f à R.

dom f(x) est le domaine de définition de f(x) et Im f(x) son domaine image

[Sourire_banane]

dom f(x) est le domaine de fe définition de f(x) et Im f(x) son domaine image

Attention, dans ce cas on dira f plutôt que f(x). Cela n'a pas de sens de parler du domaine ou de l'image d'une expression. On pourra en parler dans le cas d'une fonction.

[radoude]

ok c'est logique. Je repose en de bon termes: l'énoncé veut-il dire que dom f=R et que im f=R?

[Sourire_banane]

Si oui ("définie de R dans R") alors la réponses est non

En effet, il faut f'(x)=f(f(x))>=0 pour tout x.
Or f(x) "parcourt" tous les réels et donc f(f(x)) aussi.
f(f(x)) ne peut donc pas être positif ou nul pour tout x.

J'espère ne pas avoir raconté n'importe quoi.

J'ai un doute. En fait dans la plupart des énoncés, on dit que f est de R dans R sans donner des indications précises sur la manière dont f décrit ces ensembles et si f n'est pas seulement restreinte à un intervalle plus petit. C'est le cas de exponentielle réelle que l'on dit souvent définie de R dans R alors qu'elle l'est véritablement de R dans R+*. Cela nous importe moins que dans le cas du logarithme par exemple, où cette fois-ci la donnée de l'ensemble de départ est primordiale pour que la fonction soit définie.

[Matt_01]

Ma notation (et de manière générale) signifie que l'image de f est inclus dans R.
Tel que tu le décris, la notion de surjectivité serait obsolète.

[radoude]

ok alors ma démonstration ne tient pas

[radoude]

Oui: f(x)=0 mais je suppose que ce n'est pas la réponse attendue.

[Sourire_banane]

Oui: f(x)=0 mais je suppose que ce n'est pas la réponse attendue.

Elle convient, reste à savoir si c'est la seule ou pas.

Edit : Non, c'est bon. On te demande s'il en existe une. Tu as exhibé une fonction qui marche, donc cela devrait suffire.

[Matt_01]

Bon, f non nulle, sinon ça n'a pas beaucoup d'intérêt.
Edit : je sais pas si ça revient au même, mais initialement c'est f strictement croissante.

[Kelenner]

Bonjour,

Je fais une tentative.

1) Comme est strictement croissante, on a pour tout , et est strictement croissante. Si s'annulait pour un , elle serait strictement négative pour pour tout .

2) La fonction tend vers l'infini si tend vers .

En effet, soit fixé et . On utilise le théorème des accroissements finis: il existe [ tel que



par croissance de , et le résultat s'ensuit puisque .

3) Comme , on a aussi qui tend vers .


4) tend vers l'infini si tend vers l'infini.

En effet, soit . On peut trouver tel que pour . Alors pour , il existe tel que:



de sorte que tend bien vers si tend vers .

6) Il existe tel que implique que . Soit . On écrit que, pour , il existe tel que



On peut choisir puisque , ce qui donne:



Comme tend vers , le second membre est strictement plus grand que le premier pour grand, contradiction.

7) Conclusion: une telle fonction n'existe pas.

Cordialement.

[Matt_01]

J'avais une solution un peu similaire, qui consiste à montrer que x - f^(-1)(x) > 1 à partir d'un certain rang (en examinant la dérivée de cette fonction, qui tend vers 1 en l'infini).
A partir de ce rang, on a f(f(x)) > f(x) et donc et on fait tendre de chaque coté pour voir la contradiction.

[Jul29]

Si f'(x)>0 cela n'implique pas que f tende vers l'infini.

Je ne sais pas si un tel f existe mais il semble facile de trouver f(x)=f'(f'(x))

[Kelenner]

Si f'(x)>0 cela n'implique pas que f tende vers l'infini.

Je ne sais pas si un tel f existe mais il semble facile de trouver f(x)=f'(f'(x))

Bonjour,

On a en plus que f' est strictement croissante, lire le point 2) de ma réponse.

Bien cordialement.

[Jul29]

Bonjour,

On a en plus que f' est strictement croissante, lire le point 2) de ma réponse.

Bien cordialement.

bonsoir, en effet ce point m'a echappe.
Pourrait-on cependant imaginer que f ne soit definie que sur un intervalle ? Mais il me semble que la preuve est generalisable a ce cas.