Allez hop, je met le plan de la solution (dsl d'avoir laissé moisir le topic)
Soit
assez grand. On vérifie sans peine que
. Soit
une constante telle que
pour
(
existe car
)..
On en déduit alors que
pour
, donc pour
. Ce qui donne donc
donc, en intégrant entre 0 et x,
pour
.
Puis on poursuis la même méthode:
donc
donc intégrant
.
En poursuivant ce procédé, on définit deux suites
et
par des relations de reccurence explicites, telles que
si n pair,
si n impair. (pour
)
Une petite étude de suite plus loin, on constate que
et
convergent vers des réels A, B absolus(correspondant à la solution trouvée queques posts plus haut), et on conclut ainsi que
pour tout
, puis pour tout
, M étant arbitraire.