Existe-t-il une fonctions continue f : R -> R, non nulle,
telle que pour tout x de R, f(x) + f(2x) + f(3x) = 0 ?
équation fonctionnelle
24 messages
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par Doraki » 19 Sep 2010, 09:59
Ah oui tiens.
On devrait toujours mettre "non trivial" dans les énoncés, juste au cas où.
Donc, on cherche une fonction continue non identiquement nulle.
On devrait toujours mettre "non trivial" dans les énoncés, juste au cas où.
Donc, on cherche une fonction continue non identiquement nulle.
par Ben314 » 19 Sep 2010, 10:37
Salut,
Je commencerait bien par prendre f nulle partout sauf pour les x de la forme x=2^p.3^q avec p,q dans Z.
Reste à définir f là dessus ce qui correspond à chercher
g(p,q)=f(2^p.3^q) définie sur Z², à valeur dans R, non identiquement nulle et telle que :
g(p,q)+g(p+1,q)+g(p,q+1)=0.
Sauf erreur, g(p,q)=(-2)^p convient.
Edit : visiblement, le mot "continue" placé dans l'énoncé m'a un peu échappé...
Je commencerait bien par prendre f nulle partout sauf pour les x de la forme x=2^p.3^q avec p,q dans Z.
Reste à définir f là dessus ce qui correspond à chercher
g(p,q)=f(2^p.3^q) définie sur Z², à valeur dans R, non identiquement nulle et telle que :
g(p,q)+g(p+1,q)+g(p,q+1)=0.
Sauf erreur, g(p,q)=(-2)^p convient.
Edit : visiblement, le mot "continue" placé dans l'énoncé m'a un peu échappé...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Doraki » 19 Sep 2010, 12:38
Si j'ai bien suivi ta construction, l'adhérence du graphe de ta fonction pas continue est la réunion des droites y = (-2)^k pour k dans Z, et la droite y=0.
Elle n'est même pas localement bornée.
Elle n'est même pas localement bornée.
par windows7 » 19 Sep 2010, 13:14
si f(x) non nul en en x
on aurait aussi f(x/2)+f(3x/2) non nul ( f(x/2)+f(3x/2)=f(2x)+f(3x)=-f(x) )
donc en posant x=x/2 on aurait f(x/4)+f(3x/4)=f(x)+f(3x/2)=-f(x/2) )
donc f(x)=f(x/4)+f(3x/4)
en continuant ainsi on aurait f(x)=[f(x/2^n) + f (3x/2^n) ]* (-1)^n
en particulier f(0)=0 et comme f supposé continue en 0 par passage a la limite f(x)=0
on aurait aussi f(x/2)+f(3x/2) non nul ( f(x/2)+f(3x/2)=f(2x)+f(3x)=-f(x) )
donc en posant x=x/2 on aurait f(x/4)+f(3x/4)=f(x)+f(3x/2)=-f(x/2) )
donc f(x)=f(x/4)+f(3x/4)
en continuant ainsi on aurait f(x)=[f(x/2^n) + f (3x/2^n) ]* (-1)^n
en particulier f(0)=0 et comme f supposé continue en 0 par passage a la limite f(x)=0
par ffpower » 19 Sep 2010, 13:28
Nope..T'obtiens que f(x) est égal à un somme de beaucoup de termes petits, on ne peut rien en conclure..
par Doraki » 19 Sep 2010, 13:37
windows7 a écrit:donc f(x)=f(x/4)+f(3x/4)
Tu veux dire f(x) = f(x/4) + f(3x/4) - f(3x/2) ?
par Anonyme » 19 Sep 2010, 13:46
J'avais procédé comme windows7 en ecrivant :
=-f(\frac{x}{3})-f(\frac{2x}{3}))
= f(\frac{x}{3^2})+f(\frac{2x}{3^2})+f(\frac{2x}{3^2})+f(\frac{2^2x}{3^2})= f(\frac{x}{3^2})+2f(\frac{2x}{3^2})+f(\frac{2^2x}{3^2}))
En continuant ainsi on pourrait se retrouver avec une égalité contenant que des f(0).
Mais le problème c'est qu'on arrive a une indétermination de la forme
(du aux coefficients qui tendent vers l'infini).
Je ne pense pas que cette voie mène a quelque chose.
On peut aussi remarquer que f(x) s'annule infiniment cela laisse penser que la seule solution est f(x)=0 rien de plus.
En continuant ainsi on pourrait se retrouver avec une égalité contenant que des f(0).
Mais le problème c'est qu'on arrive a une indétermination de la forme
Je ne pense pas que cette voie mène a quelque chose.
On peut aussi remarquer que f(x) s'annule infiniment cela laisse penser que la seule solution est f(x)=0 rien de plus.
par windows7 » 19 Sep 2010, 13:49
doraki : c bon le truc de 1+2^u+3^u ? enfin jveu dire c'est ce a quoi tu pensais ?
par Doraki » 19 Sep 2010, 13:56
A la limite, j'pense qu'un truc de ce genre devrait pouvoir dire un truc sur l'éventuelle dérivabilité de f en 0.
Qmath : oui, on a besoin d'outils un peu au delà de la TS à un moment.
Pour un truc niveau terminale, tu peux te poser la question pour f(x)+f(2x)+f(4x) = 0, sur R et sur R*, qui est beaucoup plus simple, et qui peut indiquer par où il faut réfléchir
windows6 : Peut-être, mais ça répond pas à la question.
Qmath : oui, on a besoin d'outils un peu au delà de la TS à un moment.
Pour un truc niveau terminale, tu peux te poser la question pour f(x)+f(2x)+f(4x) = 0, sur R et sur R*, qui est beaucoup plus simple, et qui peut indiquer par où il faut réfléchir
windows6 : Peut-être, mais ça répond pas à la question.
par windows7 » 19 Sep 2010, 14:06
bah on regarde dans C
ten vois bcp des u complexe tq re(u) non nul et 1+2^u+3^u= 0 ?
ten vois bcp des u complexe tq re(u) non nul et 1+2^u+3^u= 0 ?
par Ben314 » 19 Sep 2010, 15:09
J'avais écrit la même chose que toi : si tu continue à développer, c'est (évidement) les coeffs binomiaux qui apparaissent et je vois pas quoi en faire...
Une autre idée est de "tester" f(x)=x^lambda (pour x>0) avec lambda complexe.
Rappel : si lambda=a+ib et x>0, x^lambda:=x^a(cos(b.ln(x))+i.sin(b.ln(x))
Remarque : si on veut une fonction à valeures réelles, on poura toujours prendre la partie réelle ou imaginaire de f.
Reste à savoir s'il existe un complexe lambda de partie réelle strictement positive (pour que f(0)=0) tel que 1+2^lambda+3^lambda=0...
Edit : aprés quelques "tests numériques", il semblerais que l'équation ci dessus ait bien une solution, mais avec une partie réelle strictement négative (donc une fonction f qui tend vers oo en 0)
Une autre idée est de "tester" f(x)=x^lambda (pour x>0) avec lambda complexe.
Rappel : si lambda=a+ib et x>0, x^lambda:=x^a(cos(b.ln(x))+i.sin(b.ln(x))
Remarque : si on veut une fonction à valeures réelles, on poura toujours prendre la partie réelle ou imaginaire de f.
Reste à savoir s'il existe un complexe lambda de partie réelle strictement positive (pour que f(0)=0) tel que 1+2^lambda+3^lambda=0...
Edit : aprés quelques "tests numériques", il semblerais que l'équation ci dessus ait bien une solution, mais avec une partie réelle strictement négative (donc une fonction f qui tend vers oo en 0)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Doraki » 19 Sep 2010, 16:32
C'est bien ça.
On regarde dans C les zéros de l'équation 1 + e^z + e^(z*ln3/ln2) = 0,
et on est intéressé par les zéros dont la partie réelle est strictement positive.
On regarde dans C les zéros de l'équation 1 + e^z + e^(z*ln3/ln2) = 0,
et on est intéressé par les zéros dont la partie réelle est strictement positive.
par windows7 » 19 Sep 2010, 19:26
Doraki a écrit:C'est bien ça.
On regarde dans C les zéros de l'équation 1 + e^z + e^(z*ln3/ln2) = 0,
et on est intéressé par les zéros dont la partie réelle est strictement positive.
pour ben > ta fonction est reelle sin(ln2z)=-sin(ln3z)
d'ou z=2npi/(ln2+ln3) apres faut remarquer la densité de distirubution de z mod 2pi/ln2
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