Equation fonctionnelle - Fonction périodique

[Zweig]

Bonsoir,

Je viens de tomber sur ce joli exercice.

Soit vérifiant pour tout réel :





Montrer que est périodique.

[windows7]

salut

etonnant c'est un grand classique pourtant !

[busard_des_roseaux]

Bonjour,

j'ai obtenu

et -périodique


et -périodique

je veux bien une indication.
j'imagine qu'il faut montrer qu'une quantité est à la fois positive et négative pour obtenir une identité

[Anonyme]

Zweig ça serait bien si tu indiquais le niveau théoriquement requis pour chacun de tes défis ( lycée , supérieur).

[Ben314]

Salut,
Le "niveau théoriquement requis", ben ça consiste quasi uniquement à connaitre la définition d'une fonction périodique (et aussi à savoir qu'une suite Un=an+b avec n dans Z ne peut être majorée que si a=0...)
Aprés, comme "indic", je dirais bien que, ce qui est pas évident, c'est d'arriver à "mélanger" les 1/6 avec les 1/7, or, si une fonction est p-périodique, elle est aussi (kp)-périodique pour tout entier k....

@busard_des_roseaux : c'est un bon début...

[busard_des_roseaux]

une suite Un=an+b avec n dans Z ne peut être majorée que si a=0...)

ah bah oui, ça y est:
en "raccordant" les accroissements successifs à gauche,
ça prouve que et sont identiquement nulles.

donc f admet au moins deux périodes et

ce qui est...le double du travail demandé

pour terminer remarquons que les fonctions indicatrices et vérifient l'équation

[Ben314]

donc f admet au moins deux périodes et

Ca me surprend un peu : il me semble que l'on peut seulement déduire que f est 1-périodique, mais pas forcément mieux :
Vu la formule, ça donne quand même fortement l'impression qu'on peut choisir f "au pif" sur [0,13/42[ puis la construire ailleurs à l'aide de la formule donnée (sans tenir compte de f(x)=<1) et j'ai l'impression que ça ne va commencer "à se répéter" qu'à partir de x=1...

[Zweig]

Zweig ça serait bien si tu indiquais le niveau théoriquement requis pour chacun de tes défis ( lycée , supérieur).

La très grande majorité de mes défis sont "niveau" lycée.

Pour busard, une indication. Remarque que 13/42 = 1/6 + 1/7. D'où l'idée de considérer la double suite

Montre que cette suite vérifie pour tout entier naturel m et n :

En choisissant des valeurs de m et n intéressantes, puis en utilisant la remarque de Ben (ainsi qu'une autre remarque qui concerne une caractérisation d'une suite arithmétique que je te laisse redécouvrir), tu peux conclure.

[Ben314]

La méthode commencée par Busard me parait plus naturelle (et plus simple) que celle consistant à tripatouiller les f(x+a/6+b/7) (ce qui bien sûr, revient exactement au même...) :
Sa fonction g est 1/7 périodique donc elle est 1-périodique (et Hop, il y a plus de /7 dans la nouvelle formule). Même méthode pour éliminer les /6...