Equation fonctionelle

[Ben314]

Salut,
Comme il se passe pas grand chose; je recopie une question retrouvée sur un vieux papier qui traînait . . .

Déterminer les fonction dérivables et telles que :
- Pour tout réel on a .
- La fonction ne s'annule qu'en un unique réel .

[phyelec]

bonjour,

Une chose m'intrigue dans l'énoncé. La fonction f est dérivable donc continue. Sauf erreur de ma part le théorème de Rolle dit que :

Soit deux réels x et x+f'(x) tels que x < f'(x)+x.
Soit f une fonction continue sur [x ; x+f'(x)] et dérivable sur ]x ,f'(x)+x[.
si f(x) = f(x+f'(x)), alors il existe un réel c dans ]x ; f'(x)+x[ tel que f'(c) = 0.
Du coup je ne comprends pas pourquoi il n'y a qu'une valeur qui annule f' sur R
il existe un réel c dans ]x ; x+f'(x)[ tel que f'(c) = (f(x+f'(x)) – f(x))/f'(x)
je trouve f'(c).f'(x)=0 ?

[Ben314]

Ben, justement, c'est ça le début du raisonnement : si (i.e. l'unique racine de ) ton strictement compris entre et tel que , c'est obligatoirement .

[phyelec]

donc quelque soit l'intervalle avec

[Ben314]

Oui, et ça marche pareil dans l'autre sens : Le théorème de Rolles, si tu veut conclure en écrivant qu'il existe c dans ]a,b[ tel que f'(c)=0 alors il faut bien sûr mettre dans les hypothèses que a<b.
Mais tu peut aussi mettre comme seule hypothèse que ab et conclure en écrivant qu'il existe c strictement entre a et b tel que f'(c)=0. C'est clairement la même chose et ça évite l'éventuelle discussion a<b versus a>b.
Bref, ici, pour tout x tel que , on sait que et sont toujours de part et d'autre de .

[phyelec]

Bien, merci pour ta réponse, je continue de chercher.

[phyelec]

re-bonjour,

j'ai trouvé que :

Sauf erreur de ma part la fonction est une solution.

donc


entre -1 et 0

[Ben314]

Oui, c'est une des solutions (et plus ou moins la seule à "un truc prés". . .)
Si tu en a marre, je peut te mettre des indications sur une façon de résoudre le problème.

[phyelec]

OK pour les indications, car je reste sur ma faim. J'ai trouvé la solution décrite dans mon précédant poste en raisonnant comme cela : comme f(xi+f'(xi))= f(xi) et est un extremum absolu alors la solution est une fonction en forme de cloche ou cloche inversée (ou de V ou V inversé ).
En forme de cloche. et J'ai cherché avec f(f'(0))=f(0). Mais ce n'est pas satisfaisant pour moi car j'ai l'impression de bidouiller.

Voici mes calculs :

.
donc a non nul et b aussi puisque est non nul




donc donc a=-1 car b est non nul.
après j'ai trouvé en essayant une solution particulière.

[Ben314]

1) Une fois que tu as vu que, lorsque , et sont forcément de part et d'autre de tu en déduit facilement le tableau de variation de .
2) Tu montre que la fonction (donc telle que ) vérifie (grâce justement au tableau de variation de f).
3) (un peu technique) tu justifie que la fonction est dérivable sauf éventuellement en .
4) Tu dérive la relation et tu tripatouille un peu (avec la relation ) pour en déduire .

[Ben314]

Tu cherche encore @phyelec ? (sinon, je mettrais une solution histoire de clore le thread)

[phyelec]

En fait j'ai un emploi du temps chargé et donc un temps de réponse un peu long en ce moment (sorry so sorry)Voici où j'en suis.
En fait pour gog=g, graphiquement je ne vois rien.
J'ai donc commencé par 3).
voici comment j'ai raisonné :
g(x)=x+f'(x). Pour que g(x) soit dérivable il faut f'(x) dérivable
La fonction f'(x) est dérivable si elle continue.
La fonction f'(x) est continue si f'(x) existe quelque soit x.
f'(x) une fonction est continue  :
1) f'(x) existe car f(x+f'(x)) existe car f est continue
2) vrai car f(x+f'(x)) existe car f est continue.

donc g'(x)=1+f''(x)

gog(x)=x+f'(x)+1+f''(x)

là j'aimerais bien que f''(x)=-1 mais je ne vois pas comment le démontrer.

[Ben314]

Déterminer les fonction dérivables et telles que :
- Pour tout réel on a .
- La fonction ne s'annule qu'en un unique réel .
Pour tout et sont distincts et, comme ils ont la même image, c'est qu'il y a entre les deux un point où la dérivée s'annulle (Th. de Rolles). Et ce point ne peut être que donc :
- Si alors ce qui implique en particulier que .
- Si alors ce qui implique en particulier que .
Donc la fonction est strictement croissante jusqu'à puis strictement décroissante.
Si on pose alors, par hypothèse, on a donc . Sauf que, si on part d'un donné, on a vu que et de l'autre coté de par rapport à donc revient du même coté que . Sauf que, comme est strictement monotone donc injective sur chacun des intervalles et , le fait d'avoir implique que .
Comme est dérivable de sur un intervalle avec , elle admet une bijection réciproque elle même dérivable. Et, sur , le fait que implique que donc que est dérivable. Idem de l'autre coté. Donc est partout dérivable sauf éventuellement en .
Comme on a .
Mais donc c'est à dire .
Donc (vu que ) puis donc .
Et on vérifie facilement que ces fonctions sont effectivement solutions du problème initial.

[phyelec]

Un grand merci Ben314. Ta correction est limpide et claire. Je vois bien à quel moment je n'ai pas pris le bon chemin. Je n'ai pas réussi à exploiter le fait que était en x et x+f'(x) et pourtant tu avais été très clair dans tes indications.
Pour prouver que g était dérivable j'ai pris une autre direction : ce que j'ai écris est-il complément faux sur ce sujet?
pour la 4) j'avais bien dérivée fog mais sans résultat exploitable car j'avais une formule avec des f''(x) dans la lignée de mes calculs présentés sur mon dernier poste.

[Ben314]

Concernant la dérivabilité de la fonction g, ça :

La fonction f'(x) est dérivable si elle continue.
La fonction f'(x) est continue si f'(x) existe quelque soit x.

C'est un peu n'importe quoi : LE (seul) truc vrai, c'est que, si une fonction est dérivable sur un intervalle, alors elle est continue sur cet intervalle, mais la réciproque est franchement fausse (la valeur absolue ou la racine carré sont continues mais pas dérivables).
Et la preuve de ce fait, elle est on ne peut plus claire avec les définitions :

Et pour la réciproque, on sait bien que, quand on a une fraction dont le dénominateur tend vers 0, de savoir que le numérateur tend aussi vers 0 n'est pas suffisant pour assurer que la limite de la fraction existe (c'est la forme indéterminée "de base" 0/0)

[phyelec]

Merci Ben314 pour cet éclaircissement. Je me doutais bien que je m'étais pris les pieds dans le tapis en manipulant ces notions de continuité et dérivabilité. Je suis plus à l'aise sur d'autres sujets.

Cordialement Phyelec