Equation fonctionelle de Paques

[ffpower]

Je cherchais avant l heure les oeufs en chocolats qu auraient pu me laisser d eventuelles cloches,et chemin faisant,je suis tombé sur bien mieux:une magnifique petite equation fonctionnelle..N en a t on pas de la chance?N'etant pas egoiste,et m'en étant rassasié,je vais donc la partager avec vous:
Déterminer les f:R->R(pas de regularité supposée) telles que pour tout x,y,f(x+y)f(x-y)=f(x²)-f(y²).
Voila,régalez vous bien^^

[Imod]

Id et 0 conviennent et je ne serais pas étonné que ce soit les seules .

Imod

[lapras]

Je confirme : ce sont les seuls. (j'attend un peu avant de poster ma sol)

[Imod]

3 certitudes :

1°) f est impaire .
2°) (f(x))²=f(x²) .
3°) si f n'est pas nulle f(1)=1 .

Après , il faut sûrement fouiller ...

Imod

[lapras]

Fouiller beaucoup même !

[lapras]

Je met un indice pour ceux qui cherche,
une fonction monotone admet des points de continuité.

[ffpower]

L indice de Lapras peut aider,mais si quelqu un trouvait une autre methode,ce serait encore mieux

[busard_des_roseaux]

f est croissante

car si x > 0 et

[ffpower]

dernier petit up avant de donner la solution.Pour répondre a busard(désolé de pas avoir répondu plutot,j avais un peu oublié ce topic^^):C est un début parfaitement correct,il est en effet important de remarquer la croissance de f.Pour la suite,il faut supposer que f n est pas la fonction nulle et trouver une classe assez grande de x tel que f(x)=x.

Au fait,oubliez l indice de Lapras.Cet indice correspond a la demo initiale que l on avait trouvé,mais on peut faire en fait bien plus élémentaire..