équation dans (N,N)

[aviateur]

Bonjour
Je propose cet énigme :
Trouver tous les couples d'entiers tels que:

[danyL]

Bonjour
Je propose cet énigme :
Trouver tous les couples d'entiers tels que:

pour x = 2 on a y = 0 mais tu n'en veux pas du y = 0
dommage

EDIT
on peut factoriser par x - 2
y² = (x - 2) ( x² + 2x - 31)
mais pas sûre que ça avanceà qqch

Re-EDIT (merci Sa Majesté)
y² = (x - 2) ( x² + 2x + 31)

[aviateur]

Oui, je l'ai éliminé car il est facile à obtenir. C'est surtout trouver les autres solutions qui sont intéressantes à essayer d'obtenir. Donc on a bien (2,0) mais y en a -t-il d'autres?

[pascal16]

jusqu'à x=y=10 000, pas de sol.

[Sa Majesté]

EDIT
on peut factoriser par x - 2
y² = (x - 2) ( x² + 2x - 31)
mais pas sûre que ça avanceà qqch

Petite erreur de signe y² = (x - 2) ( x² + 2x + 31)

[aviateur]

Bonjour
Je peux donner une indication? Poser X=x-2 et poursuivre le raisonnement.
D'autre part jusque 10000 il n'y a pas de solution mais ensuite?

[nodgim]

Je suis arrivé jusqu'au même endroit, avec en plus :
Soit x-2 et x²+2x+31 sont premiers entre eux, et alors ils doivent être carrés tous les deux.
Soit il y a 39 en commun, on a alors 39² dans y², et le reste doit être un carré.

Dans l'un ou l'autre cas, je n'ai pas trouvé de solution.

[ffback]

Attention Nodgim, 39=3x13, donc il y a d'autres cas.

Reprenons:
-(x-2)(x²+2x+31) est un carré
-Soit d le pgcd de x-2 et x²+2x+31. Alors x=2 mod d donc 0=x²+2x+31=39 mod d, donc d divise 39
- Par décomposition en facteurs premiers on déduit que l'on peut mettre les facteurs sous la forme:

,
avec d dans {1,3,13,39}. Ca donne donc...4 systèmes à étudier

[ffback]

En posant w=x+1, la 2eme équation se réécrit w²+30=dv².
Si d=1 ou 13, alors modulo 4 on a w²+2=v². Sachant que modulo 4, un carré est 0 ou 1, il n'y a pas de solutions.
Plus qu'à traiter d=3 ou 39

[aviateur]

Bonjour ok pour le début.
J'ai donc remplacé par pour simplifier la suite. Le problème est donc équivalent à

Et avec votre raisonnement on a ou pour

Je n'ai pas vu le message précédent. Ok on peut éliminer les cas d=1 et d=13.

[ffback]

Pour d=3:
De nouveau, on pose w=x+1 pour rééecrire la 2eme équation: w²+30=3v²
On regarde cette fois modulo 8: w²+6=3v².
Un carré modulo 8 est soit 0,1 ou 4. Le seul cas possible est v²=2 mod 8, w²=0 mod 8. En particulier, w est multiple de 4
On a donc x=3 mod 4. Et mettant dans la premiere équation, on déduit 1=3u² mod 4. Mais un carré modulo 4 étant 0 ou 1, ce n'est pas possible. Donc pas de solutions.

[ffback]

Pour d= 39
Toujours parei, avec w=x+1:
w²+30=39v²
On regarde de nouveau modulo 8: w²+6=-v²
Du fait que v² et w² doivent valoir 0,1 ou ' mod 8, il n'y a pas de solutions.

Donc si j'ai pas d'erreurs de calculs quelque part, ça conclut

[aviateur]

Bonjour @ffback d'accord avec toi pour d=3.
Par contre pour d=39 tu fais erreur. En effet, par exemple v=w=1 mod (8) c'est possible.

[ffback]

Tu as raison. Il reste donc encore un peu de travail a faire.

[aviateur]

Rebonjour
Il faut remplacer "un peu" par "un peu beaucoup" en effet la suite n'est pas aussi facile (mais on utilise des moyens élémentaires tout de même)

[aviateur]

Bonjour, je reviens sur ce problème difficile pour le relancer vu que certains s'y sont intéressés.
Alors je donne une indication supplémentaire: oui, il y au moins une solution même si elle est difficilement décelable avec une recherche systématique par ordi?
Donc le cas d= 39 mérite d'être étudié.

[Pseuda]

Bonjour,

Modulo 4, w²+30=39v² se résout en w=1 et v=1, donc x+1=1 (4) soit x=0 (4).
En revenant à x-2=39u², on a -2=-u² (4), soit u²=2 (4), ce qui est impossible.

Sauf erreur, je ne vois pas le "un peu beaucoup" de travail qui reste à faire ?

[ffback]

En fait, c'est v et w=1 ou -1 mod 4...
D'ailleurs avec w=3, v=1 et u=0 on a une solution au systeme (bien que triviale). Donc on pourra pas aboutir á une contradiction en raisonnant avec des modulos...

Aviateur: l'ensemble des solutions s'expriment t-il clairement, genre il est fini ou infini mais avec une formule close ?

[aviateur]

Non il n'y a qu'une solution. Grande par ailleurs, c'est pourquoi on ne l'a décèle pas avec un algo qui teste les solution possible une par une.
Je suis désolé mais je dois partir. J'essaierai de faire avancer la suite dès que possible. J'avoue que ce n'est pas évident.

[Pseuda]

Bonjour ok pour le début.
J'ai donc remplacé par pour simplifier la suite. Le problème est donc équivalent à

En revenant à cette expression et , on pose , et on est ramené à .
Donc , et on est ramené à avec .
Donc est un carré ainsi que , et on est ramené à est un carré.

En considérant le du départ (=39+2 d'arrivée), on obtient (sauf erreur) que est un carré pair (et un carré impair). En posant , on est ramené à est un carré. Donc .

Je ne sais pas si tout cela mène à quelque chose.