équation dans (N,N)

[Pseuda]

Bonjour,

Petite variante pour : . Donc est un carré impair .
On obtient qui s'écrit (avec et premiers entre eux) : avec et premiers entre eux.
Après étude mod 3, 4, 13, et 39, la seule possibilité est .

Sinon, bilan. On est partis de l'équation avec a et b premiers entre eux, a pair, b impair, pour aboutir à l'équation avec u et v premiers entre eux. On trouve (par tâtonnement ?) une solution pour cette dernière équation. Mais est-ce la seule, et n'aurait-on pas pu la trouver avec la 1ère équation ?

[aviateur]

Bonjour @pseuda
Là je suis un peu pressé pour te répondre en détail mais vite fait: tu veux dire avec l'équation je pense.
Car avec l'équation de départ c'est non, d'où l'intérêt de l'exercice.

Avec cette équation, de toute façon j'ai dû la calculer on remontant mais je n'ai pas gardé la trace des calculs.
Mais je pense qu'avec un petit algo on doit y arriver
Néanmoins il reste l'unicité et ça c'est pas donné. Dans ce cas il est surement plus facile de travailler avec qu'avec

[aviateur]

bien sûr quand je dis unicité c'est excepté la solution (1,0) et a et b positifs.

Pour l'équation
je sais que c'est assez standard de résoudre (sauf erreur je crois que cela s'appelle équation de Pell-Fermat) et pour cette équation il y a une infinité de solutions générées par la solution "la plus petite" parmi ces solutions, il faut prendre celles telles a et b sont des carrées. Il n'y en a qu'une mais pourquoi?

[Pseuda]

Bonsoir @aviateur,

Tu réponds un peu à la question que je me pose : d'où sort cette énigme, comment a-t-elle été "fabriquée" ? Réponse partielle : des équations de Pell-Fermat (je ne connais pas).

Sinon en effet, on ne peut pas trouver par tâtonnements la solution de l'énigme depuis le problème posé au départ, ni même depuis l'équation : (on a déjà ). Mais il est un peu frustrant de faire tous ces calculs pour finir par trouver une solution piochée au hasard, et de s'en tenir là. En fait, comment a-t-on su qu'on était arrivé à un stade où on pouvait trouver une solution "petite" : reconnaissance d'une équation de Pell-Fermat, j'imagine ?

[aviateur]

Bon, moi non plus je ne suis pas un pro de la théorie des nombres voire de l'algèbre aussi. Mais suite à une énigme récente posée par @lostounet j'ai cherché à comprendre et j'en sais maintenant un peu plus.
L'équation (que j'appelle pb2 ici) qui nous intéresse a pour solution les solutions de (pb1)
Donc il faut s'intéresser d'abord aux solutions (non triviales, i.e a>0,b>0 ) de cette équation.
Elles s'écrivent (a-b \sqrt{39})(a+b \sqrt{39})=1
Donc maintenant l'inconnue c'est (a,b entiers >0).
Si il y a des solutions, il y en a une + petite que les autres. Supposons qu'on la connaisse (on peut espérer la trouver à la main ou avec un simple algo pourvu qu'elle ne soit pas trop grande comme notre problème)
Ici c'est facile c'est (25,4) (et au demeurant c'est aussi une solution de pb2 i.e mais on peut l'oublier pour l'instant.
Soit donc la + petite solution. de pb1 Et bien pour tout n on a est aussi une solution de pb1.
Ne serait que cela on a une méthode + rapide pour trouver des solutions de
Bien sûr il y a des questions qui se posent y a -t- il d'autres solutions que (a_1+b_1\sqrt{39})^n de pb1.
Je crois que c'est standard (pour les pro), il n'y en a pas d'autres au moins pour notre problème.

Maintenant on a trouvé une solution du problème 1 solution du problème 2. J'ai vu un théorème qui dit qu'il n'y a qu'une solution triviale mais souvent on dit que ce théorème est profond (deep).
Si on veut on à terminé l'énigme. Sauf que vu que l'on a fait la première partie en utilisant des moyens élémentaires il reste l'énigme suivante: montrer que la solution est unique avec des moyens élémentaires.

[infernaleur]

Salut, tout d'abord merci pour cette énigme (que j'ai suivie) vous m'avez appris quelques "technique" en arithmétique (comme si a*b=c² et pgcd(a,b)=d alors a/d et b/d sont des carrés et quelques autres raisonnement).
J'ai compris tout ce que vous avez fait mais j'aurais une petite question par rapport au message de Ben314.

Salut,
Je fait un résumé de ce qui a déjà été fait et de où j'en suis :

Je ne comprend pas le passage .
Merci d'avance.

[aviateur]

Oui, content d'avoir vu que tu as suivi cette énigme. En effet c'est aussi un peu le but de montrer que l'on peut faire des maths d'un bon niveau avec des connaissances de terminale. De toute façon les élèves et étudiants peuvent participer à ce genre de problème.

a est pair donc da^4+ 6 a^2=0 mod 8
donc il reste 39/d=1,3 13 ou 39
Mais d=1,3 13 ou 39 et chacun de ces nombres à un inverse dans Z/8Z et au demeurant leur inverse c'est eux même (cela se vérifie vite)

[infernaleur]

Ok j'ai compris , en fait comme d c'est soit 1,3,13,39 on vérifie facilement qu'a chaque fois l'inverse de ces nombres dans Z/8Z ce sont eux mêmes, donc forcément dans Z/8Z 1/d=d.
Merci !

[ffback]

Salut,
alors sur le , j'avais trouvé la solution (5,2) en continuant à travailler dessus. Avec toujours le même type de méthode, écrivant , ca permet d'obtenir des nouvelles équations. L'une d'entre elle était , et bon bah là, la solution (1,1) m'a cette fois bien sauté aux yeux, et en remontant ça donnait la solution (5,2).

Bon comme promis voici la suite de la remontée:
Comme Pseuda l'a dit, pour on trouve et

On continue: pour on obtient et donc (un entier!! gros coup de "chance"). Donc .

On remonte maintenant au post de Ben, maintenant qu'on connait et (et je rappelle qu'on a déjà trouvé ). On trouve puis finalement donc , et en remplaçant dans l'équation initiale .

Donc une solution au problème initial est .
Ma foi une fort belle solution. Mais la partie importante est de prouver l'unicité, sinon il va rester un gros gout d'incachevé. J'ai fait quelques tentatives, mais pas tellement de succes pour l'instant (en essayant dans la mesure du possible de ne pas faire d'arithmétique dans des corps qudratique, aviateur nous ayant dit que la résolution est élémentaire)

[Pseuda]

Bonjour,

Petite rectification. C'est X=28844400 et x=28844402.

[ffback]

Merci, c'est rectifié.