Equation cubique

par **lapras** » 14 Aoû 2008, 23:30

Hi, nice equation, It seems difficult but it's not too much.
Solve the following eqation, with x,y integers > 1 :

par **guigui51250** » 15 Aoû 2008, 06:35

lapras a écrit:Hi, nice equation, It seems difficult but it's not too much.
Solve the following eqation, with x,y integers > 1 :

Hi, I think there is nothing solution, is it right?

par **nodgim** » 15 Aoû 2008, 09:15

Bonjour.
On peut réécrire 2y^3=x^3-1
il faut x impair, x=2x+1
(2x+1)^3-1=8x^3+12x²+6x+1-1=2y^3
4x^3+6x²+3x=y^3
x(4x²+6x+3)=y^3

x(2x(2x+3)+3) est un cube ?
x fait obligatoirement partie des diviseurs de y. Mais hélas 2x(2x+3)+3 est à +3 modulo x. Pour 3, ça ne marche pas, c'était la seule possiblité.

par **ThSQ** » 15 Aoû 2008, 09:25

Classique, plus généralement résoudre :

en entiers relatifs

par **lapras** » 15 Aoû 2008, 10:10

Nodgim > PGCD(x, x(2x+3) + 3) = 1 ou 3
dans le cas
a) PGCD(x, x(2x+3) + 3) = 1
alors xest un cube, et x divise y
tu dis que x(2x+3) + 3 divise aussi y, mais en quoi cela est il génant que x(2x+3) = 3 [mod x] ?

ThSQ > Merci pour l'équation :)
Mon équation cubique est elle vraiment un classique ?

par **guigui51250** » 15 Aoû 2008, 11:01

lapras a écrit:Mon équation cubique est elle vraiment un classique ?

bah c'est surtout un cas particulier de ton équation

je crois que c'est ça que tu as à résoudre pour ton stage.

me I have find nothing solution :happy2:

par **lapras** » 15 Aoû 2008, 11:03

Non l'équation que j'avais c'était

ce qui est beaucoup plus général, et il y a des solutions !

par **ThSQ** » 15 Aoû 2008, 11:09

lapras a écrit:Mon équation cubique est elle vraiment un classique ?

La notion de classique est toute relative mais le cas général (x^3+y^3=2z^3) est vu souvent en même temps que x^3+y^3=z^3 (et est plus facile à résoudre).

par **lapras** » 15 Aoû 2008, 11:14

Ah oui le cas n = 3 du théoreme de fermat.
Mais je suppose que dans ta solution tu utilise

et tu te places dans

pour ensuite utiliser la théorie qui est derrière ?
ce n'est pas un classique pour les olympiades je pense :happy2:

par **ThSQ** » 15 Aoû 2008, 16:55

lapras a écrit:tu utilise

Ca se fait de façon 100% élémentaire aussi.

par **lapras** » 15 Aoû 2008, 19:03

Oui car j'en ai une preuve élémentaire ! :we: (sinon je ne l'aurai pas posté)
Ceux qui veulent tenter sont les bienvenues...

par **lapras** » 28 Oct 2008, 20:03

Bonsoir,
alors, personne n'a de preuve élémentaire ?
Sinon, je poste ma solution...

par **guigui51250** » 28 Oct 2008, 20:25

depuis le temps je pense qu'il vaudrait mieux que tu poste

par **lapras** » 28 Oct 2008, 20:54

Supposons

or

donc

sinon

1) Cas

n'est jamais divisible par 9 (évident)
donc

(ici

)
et

donc

ce qui est impossible d'après le grand théoreme de fermat sauf si

ce qui donne la solution

2)Cas

on sait que x est impair
donc

or

donc

c'est un polynôme en u, dont le discriminant est :

doit être un carré parfait. Ainsi :

donc

est impair, donc

donc

or

)

Ces inégalités s'obtiennent "simplement" en utilisant les parties décimales...
donc

est compris entre deux cubes d'entiers successifs donc il n'est jamais un cube.

par **guigui51250** » 28 Oct 2008, 21:02

euh j'ai pas saisi ton histoire de PGCD, à vrai dire j'ai jamais étudié les PGCD... je vois ça à la rentrée :we:
Merci quand même pour ton explication, je la relirais dans quelques semaines

:we:

par **Imod** » 29 Oct 2008, 00:27

guigui51250 a écrit:euh j'ai pas saisi ton histoire de PGCD, à vrai dire j'ai jamais étudié les PGCD... je vois ça à la rentrée :we:

On voit ça en 3ème avec l'algorithme d'Euclide depuis quelques années ( en France en tout cas ) :zen:

Imod

par **guigui51250** » 29 Oct 2008, 08:38

Imod a écrit:On voit ça en 3ème avec l'algorithme d'Euclide depuis quelques années ( en France en tout cas ) :zen:

Imod

lol oui mais on approfondi ça en terminale spé maths...

par **lapras** » 29 Oct 2008, 18:00

Autre équation sympa :

:we:
Bon courage

par **guigui51250** » 31 Oct 2008, 19:09

là j'avoue que je ne sais même pas par où commencer :mur: :mur:

:help:

par **Matt_01** » 31 Oct 2008, 21:53

Oula, pas évidente cette équation !
Faut-il utiliser le fait que :

Parce qu'à base de modulo je trouve pas grand chose, si ce n'est que

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