Equation cubique

[acoustica]

cf CG maths 2001 :we:

[lapras]

On se place dans
L'équation se réécrit :

or dans cet anneau, les deux facteurs sont premiers entres euxil exste donc u,v tels que

en identifiant les parties réelles et imaginaires obtient


réciproquement :

[lapras]

Ma solution :
Trouver toutes les solutions entières de
Supposons

or
donc sinon
1) Cas n'est jamais divisible par 9 (évident)
donc
(ici )
et

donc




ce qui est impossible d'après le grand théoreme de fermat

2)Cas
x est impair donc
On a alors :

donc

or car 3 ne divise par a (car 3 ne divise pas x-1 par hypothèse)
donc
(z entier)
l'équation se réécrit :

(notons que a est aussi un cube, )
Etudions en général l'équation :

On se place dans
L'équation se réécrit :

or dans cet anneau, les deux facteurs sont premiers entres euxil exste donc u,v tels que

en identifiant les parties réelles et imaginaires obtient


réciproquement :


En revenant à notre équation :

On obtient :

[/quote]
On a donc

or car divise a et divise a+1.
et (sinon, 3 divise m donc 3 divise a ce qui est exclu dans ce cas 2)
de plus u et v ont une parité différente sinon, et a auraient la même parité.
donc donc



donc

On a :
et sont pairs car u et v sont de parité différente
donc


donc


(facile à voir puisque )
en développant :

donc

Mais

donc à l'équation , en faisant le même raisonnement que précédemment, on construit une suite de solutions dont le carré est strictement décroissant, ce qui est impossible (descente infinie)
sauf si on obtient (car p et q premiers entres eux) alors n=0 donc u=0 donc a=0 donc (1,0) solution.