Equation avec puissances de 2 et 3

[L.A.]

Bonjour à tous.

Je cherche l'ensemble des solutions de l'équation où sont des nombres rationnels non nuls qui ne font intervenir que des puissances de 2 et de 3.
J'ai trouvé (3,-2), (2,-1), (1/2,1/2), (2/3,1/3), (3/2,-1/2), (4/3,-1/3), (3/4,1/4), (8/9,1/9), (9/8,-1/8)

EDIT : et aussi (9,-8), (4,-3)

La théorie nous dit que l'ensemble des solutions doit être fini, mais j'ignore si je les ai toutes trouvées. Auriez-vous un moyen de le déterminer ? (genre on voit que si les puissances sont trop fortes, il se passe ceci-cela qui fait qu'il n'y a plus de solutions...)

Merci pour toute suggestion. :zen:

Rmq : visiblement on peut se ramener à l'équation

[Cliffe]

Y'en manque plein. un exemple :

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[L.A.]

Il en manque peut-être, mais pas celle là en tout cas (puisque c'est (8/9,1/9)... :zen: mais merci en tout cas).
D'ailleurs, il manque déjà (4,-3) et (9,-8) (je les rajoute discrètement :scotch:)

Je reviens sur l'équation
Pour disons des grandes valeurs de , le signe est lié à k



La parenthèse étant congrue à modulo 3, ça invite à chercher



et la parenthèse est à nouveau un modulo 3.
Bref j'ai l'impression qu'une meilleure équation serait plutôt du genre

[Cliffe]

bon bah j'ai posté trop vite :zen:

[Ben314]

Salut,
Sauf erreur, si alors l'ordre de dans le groupe multiplicatif des inversibles de l'anneau est ou et dans les deux cas divise (indicatrice d'Euler) donc .
De même, l'ordre de dans le groupe multiplicatif des inversibles de l'anneau est ou donc divise (indicatrice d'Euler) donc ou

[L.A.]

Bon, je pense avoir trouvé, je résume :

1) En chassant les dénominateurs et en cherchant qui est premier avec qui, on se ramène à l'équation



Fixons et vérifions qu'il n'y a pas de solution. Déjà, ça impose clairement .

2) On vérifie par récurrence (edit : ou par congruences) que n'est pas divisible par 3 (premières valeurs 2,1,5,7,17,... noter que dans les trois entiers consécutifs un seul est divisible par 3). Donc une hypothétique solution devrait vérifier



3) Comme la parenthèse est congrue à modulo 3, on en déduit que est un multiple de 3, . et donc



4) A nouveau la parenthèse est congrue à modulo 3 et donc



5) Or (aux dernières nouvelles) 513 n'est pas une puissance de 3, contradiction.

:id:

EDIT : @Ben314 : bien vu en effet...