Entier ??

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Doraki
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Entier ??

par Doraki » 25 Mar 2014, 20:22

On considère un réel x tel que les différences entre x^2000, x^1975, et x^1928 (je les ai pris relativement au hasard) sont des entiers.

Est-ce que x est un entier ?



beagle
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par beagle » 25 Mar 2014, 20:33

relativement au hasard?
tu veux dire qu'importe le PGCD ou le PPCM de 2000,1975,1928?
enfin je veux dire peu importe qu'ils soient premiers entre eux?
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

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Ben314
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par Ben314 » 25 Mar 2014, 21:12

S'ils ne sont pas globalement premiers entre eux, on ne risque pas de conclure...
Là, ils sont globalement premiers entre eux.
Et, visiblement, pour que le truc soit plus "fun" (à mon avis), il les a pris tels que 2 quelconques d'entre eux ne soient pas du tout premier entre eux...

Mais là, ça me semble un peu simple : comme a=1928, b=1975 et c=2000 sont globalement premiers entre eux, il existe u,v,w dans Z tels que au+bv+cw=1 et cela prouve que est produit/quotient d'entiers, c'est à dire rationnel.
Ensuite, étant rationnel et ayant une puissance entière, il est entier.
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Doraki
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par Doraki » 25 Mar 2014, 23:32

Euh pourquoi c'est un produit/quotient d'entiers ? C'est x^a - x^b qui est supposé entier, pas x^a ni x^b.

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Ben314
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par Ben314 » 26 Mar 2014, 00:08

Doraki a écrit:Euh pourquoi c'est un produit/quotient d'entiers ? C'est x^a - x^b qui est supposé entier, pas x^a ni x^b.
Mea culpa : j'ai lu de travers... :mur:
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Ben314
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par Ben314 » 26 Mar 2014, 23:28

Bon, reprenons... ton réel est racine de deux polynômes à coeff. entiers
et .
Vu comme ça, ça sent le pgcd ou le résultant, mais pour le moment, je sèche (dans les 2 cas, c'est la m...)
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jlb
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par jlb » 26 Mar 2014, 23:59

bonsoir, cela ne va certainement pas apporter grand chose mais en considérant le polynôme (Y-(x^a-x^b))(Y-(x^b-x^c))(Y-(x^c-x^a)) en l'indéterminé Y, à coefficients entiers, le coefficient de Y² est nul. Après il se passe peut-être autre chose pour les autres coefficients mais je n'ai pas regardé encore.

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chan79
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par chan79 » 27 Mar 2014, 09:29

Ben314 a écrit:Bon, reprenons... ton réel est racine de deux polynômes à coeff. entiers
et .
Vu comme ça, ça sent le pgcd ou le résultant, mais pour le moment, je sèche (dans les 2 cas, c'est la m...)

Utiliser les groupes de Galois de polynômes, peut-être .... (c'est un peu loin, pour moi ...)

Doraki
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par Doraki » 27 Mar 2014, 12:11

Ben314 a écrit:(dans les 2 cas, c'est la m...)

En effet ça m'étonnerait qu'on puisse s'en sortir comme ça.

Imod
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par Imod » 27 Mar 2014, 21:26

Bonjour à tous

Quelques idées au vol et sans prétention en reprenant l'idée de Ben : est une racine commune à et à avec et entiers . Alors le résultant des deux polynômes s'annule et les deux polynômes ont une racine rationnelle commune . Après , on peut peut-être utiliser la règle de Descartes , les racines réelles sont en nombre très limité , ...

Mais tout ça est vraiment trop vieux pour moi , les souvenirs s'estompent ...

Imod

Doraki
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par Doraki » 28 Mar 2014, 00:01

Que le résultant R(a,b) s'annule ne veut pas dire que les polynômes aient une racine rationelle commune, ça dépend comment R(a,b) se factorise. Vu que c'est un polynôme de degré 2000 en b et 1975 en a, je te souhaite bien du courage si tu comptes le calculer.

lapras
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par lapras » 29 Mar 2014, 13:28

Tu as une solution élémentaire (i.e. niveau lycée) Doraki ?

Doraki
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par Doraki » 29 Mar 2014, 14:23

Non, il faut quand même un chouia de théorie de Galois et même sans ça c'est pas de niveau lycée.

Doraki
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par Doraki » 03 Avr 2014, 19:32

Personne n'a d'idée ?
quelqu'un pour montrer que x est algébrique ?
que x est rationnel ?

ffpower
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par ffpower » 03 Avr 2014, 20:13

Moi je veux bien faire la preuve de "x algébrique", et de "x rationnel =>x entier", et je laisse la partie "x algébrique=> x rationnel" á qui veut! ( parce que bon je vais pas faire tout le boulot, non plus, hein! ) :we:

Imod
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par Imod » 03 Avr 2014, 23:03

ffpower a écrit:Moi je veux bien faire la preuve de "x algébrique", et de "x rationnel =>x entier", et je laisse la partie "x algébrique=> x rationnel" á qui veut! ( parce que bon je vais pas faire tout le boulot, non plus, hein! ) :we:


Si tu veux on échange et à nous deux on aura fini le travail :ptdr:

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