Enigme suivante.

[Ben314]

Salut,
(1) Montrer que, pour tout , le polynôme est à coefficients entiers.
(2) Exprimer en fonction de

[mathelot]

les premiers termes:























conjectures:

[nodgim]

C'est quoi X dans l'histoire, SVP ?

[Ben314]

C'est quoi X dans l'histoire, SVP ?

C'est la "variable" du polynôme.
Si tu voit Pn comme un polynôme formel, le X il représente rien du tout, mais comme on est dans R, ça change rien de voir Pn comme une fonction polynôme (style P(x)=3x²-5x+8) et dans ce cas, X c'est un réel.
Fondamentalement, la seule différence, c'est que, si tu voit ça comme une fonction, tu doit écrire

[aviateur]

Bonjour
On a
c 'est à dire
ou encore (pour tous machins et trucs dans ...)
d'où la réponse.

[Ben314]

Preuve ?

[aviateur]

J'aurai pensé que la preuve est évidente dans la mesure où l'on voit que p(2*x) et T_n(x)-1 on les mêmes racines et sont donc égaux à un facteur près et le facteur étant facile à trouver.

[Ben314]

J'aurai pensé que la preuve est évidente dans la mesure où l'on voit que p(2*x) et T_n(x)-1 on les mêmes racines et sont donc égaux à un facteur près et le facteur étant facile à trouver.

Sauf qu'il est bien clair que Pn admet des racines doubles donc il faut aussi montrer que ce sont des racines doubles de T_n(x)-1 si on veut pouvoir en en déduire qu'ils sont colinéaires.
Bref, c'est pas une évidence et ça demande une preuve (mais le principe est effectivement correct).

[aviateur]

Ce n'est pas non plus compliqué à voir car cela vient de et on fait attention aux détails.

[aviateur]

Rebonjour
Une autre façon d'obtenir la récurrence (et donc le résultat) sans passer par les polynômes de Tchebychev
c'est de calculer le polynôme Q_n de degré 2n t. q

D'où
On obtient alors
La récurrence vient donc de la formule

[mathelot]

ça ne serait pas des exponentielles complexes plutôt ?

[aviateur]

il manque les i bien sûr

[Ben314]

Une autre façon d'obtenir la récurrence (et donc le résultat) sans passer par les polynômes de Tchebychev
c'est de calculer le polynôme Q_n de degré 2n t. q

D'où
On obtient alors

Je pense effectivement que c'est pas mal plus simple comme ça et en plus, ça permet de répondre facilement à la deuxième question.

[aviateur]

Justement pour la deuxième question, on est bien d'accord que l'on a une relation de récurrence
entre P_{n+2},P_{n+1} et P_n mais pas de relation entre P_{n+1} et P_n. Sinon je ne vois pas cette relation.

[Ben314]

Oui, la relation "naturelle", c'est une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 (ou plutôt affine en ce qui concerne P_n) .
Mais il y en au aussi une (non linéaire bien sûr) d'ordre 1, i.e P_{n+1}=f(P_n).

[aviateur]

Rebonjour
Comme relation je ne vois que ça:

[Ben314]

Non, ça c'est pas une "formule de récurrence", c'est à dire c'est pas de la forme vu que ta fonction "contient" aussi du .





Au vue des termes dominants, on peut préciser que le et un modulo de définir la racine carrée d'un polynôme unitaire (formel, qui est effectivement le carré d'un autre polynôme) comme étant le polynôme unitaire ayant comme carré celui de départ. (par contre, en temps que fonction polynomiale de la variable réelle, je pense que ça sera pas systématiquement un mais que ça dépendra du réel)

[aviateur]

Rebonjour
Je pense que si on fait le choix avec unitaire (i.e coeff dominant = 1)
au regard des coefficients dominant de part et d'autre de l'égalité il me semble bien que l' on doit mettre un plus quand x est grand.
Mais alors aussi pour tout .

[Ben314]

Rebonjour
Je pense que si on fait le choix avec unitaire (i.e coeff dominant = 1)
au regard des coefficients dominant de part et d'autre de l'égalité il me semble bien que l' on doit mettre un plus quand x est grand.
Mais alors aussi pour tout .

Pour x "grand" (et positif), O.K,. mais pas pour tout :
Pour réel et la formule donne .
Or , donc le dépend de : il faut prendre si et sinon. (est-ce la même chose pour tout n ?)

[aviateur]

Je crois que l'on ne se comprend pas: le polynôme est unitaire, c'est à dire que le facteur du coefficient dominant est égal à 1, le coefficient dominant est donc
il y a deux polynômes et tels que
l'un a pour coefficient dominant (il est unitaire c'est et l'autre a pour coefficient
dominant
En posant alors nécessairement la formule de récurrence que tu as donné s'écrit avec un + et l'égalité de récurrence à est valable pour tout .
Pour n=2, pour moi c'est donc